Aiuto Raggio di convergenza di serie di potenze
Ciao ragazzi.
Mi potete dire come si fa questo limite per x che tende a infinito dell'espressione:
((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3)*x^n
Grazie per la vostra collaborazione.
Mi potete dire come si fa questo limite per x che tende a infinito dell'espressione:
((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3)*x^n
Grazie per la vostra collaborazione.
Risposte
"ehsanesteki":
Ciao ragazzi.
Mi potete dire come si fa questo limite per x che tende a infinito dell'espressione:
((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3)*x^n
Grazie per la vostra collaborazione.
Questo?
$lim_(x->+oo) (((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3)*x^n )$
O questo?
$lim_(x->+oo) ((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3*x^n) $
E $n$ cos'è, un intero positivo ?
Scusami ma mi sono spiegato male.
La domanda è Torvare il raggio di convergenza della seria da n=0 a infinito di ((n^2+1)/(n^2+1))^(n^3)*x^n.
Mi dovresti scusare ancora.
Grazie per la collaborazione.
La domanda è Torvare il raggio di convergenza della seria da n=0 a infinito di ((n^2+1)/(n^2+1))^(n^3)*x^n.
Mi dovresti scusare ancora.
Grazie per la collaborazione.
"ehsanesteki":
Scusami ma mi sono spiegato male.
La domanda è Torvare il raggio di convergenza della seria da n=0 a infinito di ((n^2+1)/(n^2+1))^(n^3)*x^n.
Mi dovresti scusare ancora.
Grazie per la collaborazione.
Comunque x^n moltiplica tutto non solo la potenza se ti puo essere di aiuto.
Per trovare il raggio di convergenza di una serie di potenze spesso si utilizza il seguento criterio (di Cauchy Hadamard).
Data la serie di potenza $sum_(n=0)^(+oo)(a_n*x^n)$, se esiste $L:= lim_(n->+oo)(root(n)(|a_n|))$ allora, detto $R$ il raggio di convergenza, si ha $R=1/L$.
Data la serie di potenza $sum_(n=0)^(+oo)(a_n*x^n)$, se esiste $L:= lim_(n->+oo)(root(n)(|a_n|))$ allora, detto $R$ il raggio di convergenza, si ha $R=1/L$.
Mi devi scusare tantissimo , ma gentilmente e cortesemente mi potresi calcolare anche il limite:
$ lim_(n -> oo ) root(n)(|an|) $
$ lim_(n -> oo ) root(n)(|an|) $
Bisogna calcolare $lim_(n->+oo)(((n^2+1)/(n^2+2))^(n^3))^(1/n)$=$lim_(n->+oo)((n^2+1)/(n^2+2))^(n^2)$.
Si ha una forma di indeterminazione del tipo $1^(oo)$, il modo standard di procedere è quello di scrivere tutto in forma esponenziale, giungiamo così a $lim_(n->+oo)e^(n^2log((n^2+1)/(n^2+2))$.
Riesci ora ad andare avanti ?
Si ha una forma di indeterminazione del tipo $1^(oo)$, il modo standard di procedere è quello di scrivere tutto in forma esponenziale, giungiamo così a $lim_(n->+oo)e^(n^2log((n^2+1)/(n^2+2))$.
Riesci ora ad andare avanti ?
$ lim_(n -> oo ) e^{n^2log ((n^2*(1+1/n^2))/(n^2*(1+1/n^2)))} $
$ lim_(n -> oo ) e^{n^2log 1} $
$ lim_(n -> oo ) e^{n^2*0} $
$ lim_(n -> oo ) e^0 $
La soluzione finale del limite viene 1 è giusto?
Grazie ancora per il tuo prezioso aiuto.
$ lim_(n -> oo ) e^{n^2log 1} $
$ lim_(n -> oo ) e^{n^2*0} $
$ lim_(n -> oo ) e^0 $
La soluzione finale del limite viene 1 è giusto?
Grazie ancora per il tuo prezioso aiuto.
Penso sia sbagliato, a me il risultato del limite viene $e^-1$. Credo tu abbia sbagliato nella prima riga del tuo ultimo post, perchè il denominatore della quantità all'interno del logaritmo non è $n^2+1$ ma $n^2+2$.
Inoltre ti consiglio di vedere l'argomento del logaritmo in questo modo :
$(n^2+1)/(n^2+2)=(n^2+1+(1-1))/(n^2+2)=(n^2+2-1)/(n^2+2)=(1-1/(n^2+2))$.
Dovresti cos' riconoscere un limite notevole.
Inoltre ti consiglio di vedere l'argomento del logaritmo in questo modo :
$(n^2+1)/(n^2+2)=(n^2+1+(1-1))/(n^2+2)=(n^2+2-1)/(n^2+2)=(1-1/(n^2+2))$.
Dovresti cos' riconoscere un limite notevole.
[mod="dissonance"]@ehsanesteki: Per favore cambia titolo al thread, mettendo qualcosa di più esplicativo. "Raggio di convergenza di serie di potenze", o qualcosa del genere, va bene. Inoltre ti invito ad usare un linguaggio adatto per scrivere le formule (clic per istruzioni), per risparmiare agli altri utenti inutili sforzi di decifrazione. Grazie. [/mod]
Mi dovete scusare sono nuovo in questo forum. Come faccio a cambiare il titolo della discussione?
Nel tuo primo post in alto a destra c'è un pulsante "MODIFICA", usa quello.
Ho Guardato la tabella dei limiti notevoli ma quello per il mio caso non l'ho trovato.
Scusami tanto ma sono veramente tonto.Mi potresti dire quale'?
Scusami tanto ma sono veramente tonto.Mi potresti dire quale'?
Non ne esistono molti con il logaritmo ! 
Mi riferisco a $lim_(x->0)log(1+x)/x=1$. Se lo leggi, significa che il limite per $x->0$ del logaritmo di uno più un infinitesimo fratto l'infinitesimo è uno.
Nel nostro caso l'infinitesimo che ci interessa è $-1/(n^2+2)$. Se conosci il metodo dell'asintotico puoi subito concludere che $log(1-1/(n^2+2))$ è asintotico per $n->+oo$ a $-1/(n^2+2)$. Altrimenti per applicare il limite notevole moltiplica e dividi per $(-1/(n^2+2))$ ed il gioco è fatto.
Mi riferisco a $lim_(x->0)log(1+x)/x=1$. Se lo leggi, significa che il limite per $x->0$ del logaritmo di uno più un infinitesimo fratto l'infinitesimo è uno.
Nel nostro caso l'infinitesimo che ci interessa è $-1/(n^2+2)$. Se conosci il metodo dell'asintotico puoi subito concludere che $log(1-1/(n^2+2))$ è asintotico per $n->+oo$ a $-1/(n^2+2)$. Altrimenti per applicare il limite notevole moltiplica e dividi per $(-1/(n^2+2))$ ed il gioco è fatto.
Ma dai lasciamo stare non ho capito e non riesco ad andare avanti. Se non ti dispiace mi riesci a finirmelo tu , altrimenti ti ringrazio comunque per la collaborazione.
Ti indico i passaggi chiave, prova a ragionarci.
$lim_(n->+oo)e^(n^2log(1-1/(n^2+2)))=lim_(n->+oo)e^(n^2*(-1/(n^2+2)))=e^-1$
$lim_(n->+oo)e^(n^2log(1-1/(n^2+2)))=lim_(n->+oo)e^(n^2*(-1/(n^2+2)))=e^-1$
"Relegal":
Non ne esistono molti con il logaritmo !
Mi riferisco a $lim_(x->0)log(1+x)/x=1$. Se lo leggi, significa che il limite per $x->0$ del logaritmo di uno più un infinitesimo fratto l'infinitesimo è uno.
Nel nostro caso l'infinitesimo che ci interessa è $-1/(n^2+2)$. Se conosci il metodo dell'asintotico puoi subito concludere che $log(1-1/(n^2+2))$ è asintotico per $n->+oo$ a $-1/(n^2+2)$. Altrimenti per applicare il limite notevole moltiplica e dividi per $(-1/(n^2+2))$ ed il gioco è fatto.
A che cosa devo moltiplicare $(-1/(n^2+2))$ ?
$log(1-1/(n^2+2))=-1/(n^2+2)*log(1-1/(n^2+2))/(-1/(n^2+2))$.
A questo punto $log(1-1/(n^2+2))/(-1/(n^2+2))$ tende a uno per $n->+oo$ e resta il limite nella forma del mio precedente post.
A questo punto $log(1-1/(n^2+2))/(-1/(n^2+2))$ tende a uno per $n->+oo$ e resta il limite nella forma del mio precedente post.
Grazie mille.
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