Aiuto problema con integrale
Salve a tutti. Mi sono imbattuto in questo integrale:
$\int_{-1}^{1} sin^2\theta d(cos\theta) $
e il risultato è $4/3$ ma non capisco perché. Ho provato a risolverlo col metodo dell'integrazione per sostituzione eseguendo il cambio di variabile $cos\theta$ $rarr$ $t$ ma non ottengo il risultato indicato. Potete spiegarmi dove sbaglio, o se c'è un errore nel risultato proposto?
Grazie mille
$\int_{-1}^{1} sin^2\theta d(cos\theta) $
e il risultato è $4/3$ ma non capisco perché. Ho provato a risolverlo col metodo dell'integrazione per sostituzione eseguendo il cambio di variabile $cos\theta$ $rarr$ $t$ ma non ottengo il risultato indicato. Potete spiegarmi dove sbaglio, o se c'è un errore nel risultato proposto?
Grazie mille
Risposte
$\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$
Si ok...ho provato con questa sostituzione ma non mi torna il risultato. Potresti indicarmi lo svolgimento? Forse sono io che applico male la trasformazione...
Come non detto...mi ero perso un segno - e non mi tornava il conto 
Grazie mille per la risposta comunque!
Se a qualcuno interessasse il procedimento lo scrivo qui per completezza:
$\int_{-1}^{1} sin^2\theta d(cos\theta) $
con la sostituzione $ sin^2\theta $ = $1-cos^2\theta $ l'integrale diventa
$\int_{-1}^{1} (1-cos^2\theta) d(cos\theta) $ che può essere suddiviso in
$\int_{-1}^{1} d(cos\theta) -\int_{-1}^{1} cos^2\theta d(cos\theta) $
l'integrazione viene fatta in $d(cos\theta) $ perciò
$\int_{-1}^{1} d(cos\theta)-\int_{-1}^{1} cos^2\theta d(cos\theta)=cos\theta \|_-1^1+\frac{cos^3\theta}{3}\|_-1^1=1-(-1) - [frac{1}{3}-(-frac{1}{3})]=1+1-(frac{2}{3})=$
$=frac{4}{3}$
[PS la variabile di integrazione è $cos\theta$ perciò è la funzione coseno che assume i valori degli estremi di integrazione, non l'angolo $\theta$!]
Spero di non aver commesso errori scrivendo le formule
Grazie mille per la risposta comunque! Se a qualcuno interessasse il procedimento lo scrivo qui per completezza:
$\int_{-1}^{1} sin^2\theta d(cos\theta) $
con la sostituzione $ sin^2\theta $ = $1-cos^2\theta $ l'integrale diventa
$\int_{-1}^{1} (1-cos^2\theta) d(cos\theta) $ che può essere suddiviso in
$\int_{-1}^{1} d(cos\theta) -\int_{-1}^{1} cos^2\theta d(cos\theta) $
l'integrazione viene fatta in $d(cos\theta) $ perciò
$\int_{-1}^{1} d(cos\theta)-\int_{-1}^{1} cos^2\theta d(cos\theta)=cos\theta \|_-1^1+\frac{cos^3\theta}{3}\|_-1^1=1-(-1) - [frac{1}{3}-(-frac{1}{3})]=1+1-(frac{2}{3})=$
$=frac{4}{3}$
[PS la variabile di integrazione è $cos\theta$ perciò è la funzione coseno che assume i valori degli estremi di integrazione, non l'angolo $\theta$!]
Spero di non aver commesso errori scrivendo le formule
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