Aiuto per una trasformata di Fourier.
Salve a tutti, mi occorrerebbe una mano per una trasformata di Fourier, la funzione da trasformare e' la seguente (spero di usare bene ASCIIMathML, che non ho mai usato, siate comprensivi 
)
(con abs intendo il valore assoluto)
$f(X)=delta(x)+1/2delta(abs(x)-1)$
la trasformata dovrebbe essere elementare, senza il valore assoluto varrebbe
$1+e^(-i2pifx)$
ma il modulo mi fa venire dei dubbi, in particolare, che differenza c'e' fra
$delta(x)$ e $delta(abs(x))$ ?
$delta(abs(x)-1)$ rappresenta due impulsi diversi uno centrato in $1$ e l'altro in $-1$?
Grazie mille anticipato a chi sapra' chiarimi le idee
)(con abs intendo il valore assoluto)
$f(X)=delta(x)+1/2delta(abs(x)-1)$
la trasformata dovrebbe essere elementare, senza il valore assoluto varrebbe
$1+e^(-i2pifx)$
ma il modulo mi fa venire dei dubbi, in particolare, che differenza c'e' fra
$delta(x)$ e $delta(abs(x))$ ?
$delta(abs(x)-1)$ rappresenta due impulsi diversi uno centrato in $1$ e l'altro in $-1$?
Grazie mille anticipato a chi sapra' chiarimi le idee
Risposte
Dove hai trovato l'espressione $\delta(|x|-1)$ ??
Per quanto ne so io non ha senso comporre una distribuzione con una funzione avente uno spigolo - pero' puo' darsi che nel caso della $\delta$ si possa usare un trucco ah hoc.
Per questo bisognerebbe sapere che definizione hai di $\delta$.
Se vuoi rappresentare due impulsi, uno in $1$ e uno in $-1$ si usa $\delta(t-1)+\delta(t+1)$ (dove con $\delta(t-t_0)$ indico la translazione di $\delta$ di $t_0$ - in realta' $\delta(t)$ non avrebbe veramente senso)
Per quanto ne so io non ha senso comporre una distribuzione con una funzione avente uno spigolo - pero' puo' darsi che nel caso della $\delta$ si possa usare un trucco ah hoc.
Per questo bisognerebbe sapere che definizione hai di $\delta$.
Se vuoi rappresentare due impulsi, uno in $1$ e uno in $-1$ si usa $\delta(t-1)+\delta(t+1)$ (dove con $\delta(t-t_0)$ indico la translazione di $\delta$ di $t_0$ - in realta' $\delta(t)$ non avrebbe veramente senso)
"ViciousGoblin":
Dove hai trovato l'espressione $\delta(|x|-1)$ ??
Per quanto ne so io non ha senso comporre una distribuzione con una funzione avente uno spigolo - pero' puo' darsi che nel caso della $\delta$ si possa usare un trucco ah hoc.
Per questo bisognerebbe sapere che definizione hai di $\delta$.
Se vuoi rappresentare due impulsi, uno in $1$ e uno in $-1$ si usa $\delta(t-1)+\delta(t+1)$ (dove con $\delta(t-t_0)$ indico la translazione di $\delta$ di $t_0$ - in realta' $\delta(t)$ non avrebbe veramente senso)
Ciao Vicius
Per quanto concerne la $\delta$ e' la classica distribuzione $\delta$ di Dirac, con tutta la teoria al seguito
concordo pienamente che se volessi due impulsi, uno in $1$ e uno in $-1$ si usa $\delta(t-1)+\delta(t+1)$ il mio problema sta
proprio nel fatto che riesco ad interpretare il senso di $\delta(|x|-1)$ e m8i sono detto...forse e' un modo sintetico per esprimere una coppia di impulsi...ma ci credevo poco
Per inciso
$delta(x)+1/2delta(|x|-1)$
e' una funzione di autocorrelazione, della quale mi interessa calcolare la trasformata di Fourier.
Calcoliamola a mano:
$\int_(-\infty)^(+\infty)\delta(|x|-1)e^(-j2\pifx)dx=\int_(-\infty)^(0)\delta(-x-1)e^(-j2\pifx)dx+\int_(0)^(+\infty)\delta(x-1)e^(-j2\pifx)dx=\int_(-1-\Delta/2)^(-1+\Delta/2)\delta(-x-1)e^(-j2\pifx)dx+\int_(1-\Delta/2)^(1+\Delta/2)\delta(x-1)e^(-j2\pifx)dx=$
$=e^(j2\pif)+e^(-j2\pif)$
Quindi dovrebbe essere equivalente a due impulsi come avevi accennato.
$\int_(-\infty)^(+\infty)\delta(|x|-1)e^(-j2\pifx)dx=\int_(-\infty)^(0)\delta(-x-1)e^(-j2\pifx)dx+\int_(0)^(+\infty)\delta(x-1)e^(-j2\pifx)dx=\int_(-1-\Delta/2)^(-1+\Delta/2)\delta(-x-1)e^(-j2\pifx)dx+\int_(1-\Delta/2)^(1+\Delta/2)\delta(x-1)e^(-j2\pifx)dx=$
$=e^(j2\pif)+e^(-j2\pif)$
Quindi dovrebbe essere equivalente a due impulsi come avevi accennato.
allora innanzitutto ho commesso un errore...la funzione e' discreta, quindi le $delta$ non sono affatto di Dirac, ma di Kronecker
$f(n)=delta(n)+1/2delta(|n|-1)$
Il calcolo effettuato da Lomax, valido nel continuo, l'ho fatto anche io, ma verificandolo con Matlab viene fuori che l'intera trasformata vale $1$
e che la trasformata di:
$f(n)=1/2delta(|n|-1)$
vale $0$ per questo onestamente non so quale sia il valore della trasformata di $f(n)=delta(n)+1/2delta(abs(n)-1)$
$f(n)=delta(n)+1/2delta(|n|-1)$
Il calcolo effettuato da Lomax, valido nel continuo, l'ho fatto anche io, ma verificandolo con Matlab viene fuori che l'intera trasformata vale $1$
e che la trasformata di:
$f(n)=1/2delta(|n|-1)$
vale $0$ per questo onestamente non so quale sia il valore della trasformata di $f(n)=delta(n)+1/2delta(abs(n)-1)$
Io mi ritiro - i conti che ha fatto K.Lomax, dal mio punto di vista, non hanno un vero senso matematico.
Nella teoria delle distribuzioni non ha senso $\int_0^\infty\delta(x)\phi(x) dx$.
Puo' darsi pero' che ci siano delle definizioni ad hoc, che in questo contesto sono perfettamente adeguate.
E sulle trasformate discrete non ho esperienza.
Nella teoria delle distribuzioni non ha senso $\int_0^\infty\delta(x)\phi(x) dx$.
Puo' darsi pero' che ci siano delle definizioni ad hoc, che in questo contesto sono perfettamente adeguate.
E sulle trasformate discrete non ho esperienza.
Se la funzione è discreta le cose cambiano. La trasformata di Fourier di una funzione discreta è periodica di periodo 1.
Se calcoli:
$F(\nu)=\sum_(n=-\infty)^(+infty)f(n)e^(-j2\pin\nu)$
ottieni
$F(\nu)=1+cos2\pi\nu$
con, ad esempio, $\nu$$in$$(-1/2,1/2)$.
Se calcoli:
$F(\nu)=\sum_(n=-\infty)^(+infty)f(n)e^(-j2\pin\nu)$
ottieni
$F(\nu)=1+cos2\pi\nu$
con, ad esempio, $\nu$$in$$(-1/2,1/2)$.
"TitusI":
allora innanzitutto ho commesso un errore...la funzione e' discreta, quindi le $delta$ non sono affatto di Dirac, ma di Kronecker
$f(n)=delta(n)+1/2delta(|n|-1)$
Il calcolo effettuato da Lomax, valido nel continuo, l'ho fatto anche io, ma verificandolo con Matlab viene fuori che l'intera trasformata vale $1$
e che la trasformata di:
$f(n)=1/2delta(|n|-1)$
vale $0$ per questo onestamente non so quale sia il valore della trasformata di $f(n)=delta(n)+1/2delta(abs(n)-1)$
Ho cambiato idea sul mio ritiro
Anche sapendo poco di trasformate discrete si puo' notare che, se la $\delta$ e' quella di Kronecker, allora
$\delta(|n|-1)=\delta(n-1)+\delta(n+1)$ (se $n\ne\pm1$ viene $0=0$ se $n=\pm1$ viene $1=1$).
Dunque la tua $f(n)$ e' eguale a $\delta(n)+\frac{1}{2}\delta(n-1)+\frac{1}{2}\delta(n+1)$
Questo dovrebbe darti tutto. In effetti mi sembra strano che la trasformata sia zero (non dovrebbe implicare che la successione di partenza e' nulla ?)
- sei sicuro di non aver sbagliato qualcosa dando l'espressione in pasto a matlab ?.
"ViciousGoblin":
[quote="TitusI"]allora innanzitutto ho commesso un errore...la funzione e' discreta, quindi le $delta$ non sono affatto di Dirac, ma di Kronecker
$f(n)=delta(n)+1/2delta(|n|-1)$
Il calcolo effettuato da Lomax, valido nel continuo, l'ho fatto anche io, ma verificandolo con Matlab viene fuori che l'intera trasformata vale $1$
e che la trasformata di:
$f(n)=1/2delta(|n|-1)$
vale $0$ per questo onestamente non so quale sia il valore della trasformata di $f(n)=delta(n)+1/2delta(abs(n)-1)$
Ho cambiato idea sul mio ritiro
Anche sapendo poco di trasformate discrete si puo' notare che, se la $\delta$ e' quella di Kronecker, allora
$\delta(|n|-1)=\delta(n-1)+\delta(n+1)$ (se $n\ne\pm1$ viene $0=0$ se $n=\pm1$ viene $1=1$).
Dunque la tua $f(n)$ e' eguale a $\delta(n)+\frac{1}{2}\delta(n-1)+\frac{1}{2}\delta(n+1)$
Questo dovrebbe darti tutto. In effetti mi sembra strano che la trasformata sia zero (non dovrebbe implicare che la successione di partenza e' nulla ?)
- sei sicuro di non aver sbagliato qualcosa dando l'espressione in pasto a matlab ?.[/quote]
Innanzitutto grazie mille ad entrambi per la disponibilita', finalmente siamo giunti ad un risultato coerente, solo due note:
Seguendo sue strade diverse siete giunti allo stesso risultato (sfruttando le formule di Eulero).
Vediao un po se ho capito bene
$\delta(|n|-1)=\delta(n-1)+\delta(n+1)$ su questo siamo tutti daccordo credo (anche se a me lo scrivere $\delta(|n|-1)$ semba un atto subdolo
quindi trasformando abbiamo
$F(\nu)=\sum_(n=-\infty)^(+infty)[delta(n)+delta(n-1)+delta(n+1)]e^(-j2\pin\nu)$
che dara' valori non nulli solo per $-1$ $0$ $1$ e riarrangiata con le formule di Eulero
$F(\nu)=1+cos2\pi\nu$
Tutto corretto?
Beh, se si ora e' tutto chiaro, vi ringrazio tanto per la disponibilita', ora ragionero' un po sulla differenza della espressione $1/2delta(|n|-1)$ nel caso continuo e discreto, poi magari postero' di nuovo per avere qualche delucidazione sul tracciamento di funzioni complesse
GRAZIE
Di nulla.
Ti ricordo di interpretare correttamente la trasformata di una funzione discreta (periodica) e del suo periodo (unitario).
Ti ricordo di interpretare correttamente la trasformata di una funzione discreta (periodica) e del suo periodo (unitario).
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