Aiuto per un limite di successioni

[Alew92]

Salve, ho un problemino con questa successione, molto elementare sicuramente ma non riesco a risolverla, anzi a dimostrarla

$(5^n/(5^n+3))to1^-$ con $n in NN$

per cominciare ho pensato che probabilmente sarà vera tanto per farmi un'idea sul risultato, e allora comincio a sviluppare il procedimento nel seguente modo

$\epsilon<(5^n/(5^n+3))<1$

ho pensato di scrivere tale disuguaglianza perchè deve cadere definitivamente fra 1 e epsilon, quindi supponendo che

$(5^n/(5^n+3))<1$

è sempre vera, risolvo solo per

$\epsilon<(5^n/(5^n+3))$


a questo punto moltiplico per $5^n+3$(lo posso fare perchè tanto è sempre positivo) e ottengo

$5^n\epsilon+3\epsilon<5^n$

ma arrivato a questo punto non riesco a trovare una via di uscita, riuscite ad aiutarmi?

[Matthia2]

Il metodo standard per questi casi è un altro:
per n che tende a [tex]+\infty[/tex], sia il numeratore che il denominatore tendono a [tex]+\infty[/tex], quindi hai una forma indeterminata. Ma il termine dominante al denominatore è [tex]5^n[/tex], quindi lo raccogli in modo da metterlo in evidenza e ottieni
[tex]\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{5^n}{5^n(1+\frac{3}{5^n})}[/tex].
Ora il [tex]5^n[/tex] lo puoi semplificare e ti resta [tex]\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{1+\frac{3}{5^n}}[/tex] che fa 1 e funziona perché [tex]5^n[/tex] pesa più di [tex]3[/tex].

[Gi81]

Hai fatto un po' di confusione.
Ripartiamo dall'inizio: sia \(\displaystyle \left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la successione definita da \(\displaystyle a_n = \frac{5^n}{5^n+3} \).
Vogliamo dimostrare che \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n = 1^- \).

Certamente $a_n>0$ per ogni $n in NN$. Dato che $a_n= (5^n+3-3)/(5^n+3)= 1 - 3/(5^n+3)$, si ha che $0
Dunque bisogna dimostrare che $AA epsilon >0 quad EE barn in NN$ tale che $AA n >=barn $ vale $a_n>1-epsilon$.