Aiuto per Sviluppo in serie di Laurent
Ciao a tutti! avrei dei problemi a capire dei passaggi su uno sviluppo di Laurent fatto a lezione(vi ricopio il testo degli appunti), centrato in $z_{0} = 0$ nell'insieme ${z \in CC : 0 < |z| < 1}$ della funzione
$f(z) = frac{z^{3}-4}{z^{3}-z^{5}}$ ; devo determinare il residuo di f in $z_{0} = 0$ e la natura della singolarità
1) Ho iniziato disegnando la corona circolare e evidenziando l'area in cui faccio lo sviluppo, che è l'interno.
ho posto $f(z)$ $frac{z^{3}-4}{z^{3}}frac{1}{1-z^{2}}$ dato che $0<|z|<1$ (non ho capito questo passaggio, se mi può essere spiegato)
2) $(1-frac{4}{z^{3}})frac{1}{1-z^{3}}$ poiché è una serie di Laurent (in che senso?) = $(1-frac{4}{z^{3}})sum_{n=0}^inftyz^{2n} =$
= $sum_{n=0}^inftyz^{2n} - 4sum_{n=0}^inftyz^{2n+3} =$
= $frac{4}{z^{3}}-frac{4}{z}+1-4z+z^2-4z^3+z^4+ldots$
3) Il residuo è tutto ciò che ha coefficiente di grado -1 (perché?) $Rightarrow (Res_f)(0) = -4$
La singolarità è un polo di grado 3 (perché? tra l'altro avrei bisogno di capire che differenza c'è tra i vari polo/polo semplice e singolarità semplice/eliminabile)
4) Calcolo lo sviluppo di Laurent sull'esterno del disco, in $z > 1$ , fuori va bene $|frac{1}{z}| < 1$ dato che $|z| > 1$ (non ho capito perché devo farlo fuori dal disco e la motivazione del perché va bene)
$f(z) = frac{z^3-4}{z^3(1-z)} $
$ = frac{z^3-4}{z^3}frac{1}{1-z^2} $(perché mi sono posto in questa forma diversa dal primo sviluppo?)
$ = frac{z^3-4}{z^3}frac{1}{z^2(frac{1}{z^2}-1)} $
$ = -frac{z^3-4}{z^5}frac{1}{1-frac{1}{z^2})} $
$ = -frac{z^3-4}{z^5}sum_{n=0}^infty(frac{1}{z^2})^n =$ che ha infiniti elementi negativi(perché?)
$ = -frac{1}{z^2}sum_{n=0}^infty(z^(-2n-2)) + 4sum_{n=0}^infty(z^(-2n-5))
se poi mi poteste fornire delle il metodo su come fare questo tipo di esericizi mi fareste un piacere!
$f(z) = frac{z^{3}-4}{z^{3}-z^{5}}$ ; devo determinare il residuo di f in $z_{0} = 0$ e la natura della singolarità
1) Ho iniziato disegnando la corona circolare e evidenziando l'area in cui faccio lo sviluppo, che è l'interno.
ho posto $f(z)$ $frac{z^{3}-4}{z^{3}}frac{1}{1-z^{2}}$ dato che $0<|z|<1$ (non ho capito questo passaggio, se mi può essere spiegato)
2) $(1-frac{4}{z^{3}})frac{1}{1-z^{3}}$ poiché è una serie di Laurent (in che senso?) = $(1-frac{4}{z^{3}})sum_{n=0}^inftyz^{2n} =$
= $sum_{n=0}^inftyz^{2n} - 4sum_{n=0}^inftyz^{2n+3} =$
= $frac{4}{z^{3}}-frac{4}{z}+1-4z+z^2-4z^3+z^4+ldots$
3) Il residuo è tutto ciò che ha coefficiente di grado -1 (perché?) $Rightarrow (Res_f)(0) = -4$
La singolarità è un polo di grado 3 (perché? tra l'altro avrei bisogno di capire che differenza c'è tra i vari polo/polo semplice e singolarità semplice/eliminabile)
4) Calcolo lo sviluppo di Laurent sull'esterno del disco, in $z > 1$ , fuori va bene $|frac{1}{z}| < 1$ dato che $|z| > 1$ (non ho capito perché devo farlo fuori dal disco e la motivazione del perché va bene)
$f(z) = frac{z^3-4}{z^3(1-z)} $
$ = frac{z^3-4}{z^3}frac{1}{1-z^2} $(perché mi sono posto in questa forma diversa dal primo sviluppo?)
$ = frac{z^3-4}{z^3}frac{1}{z^2(frac{1}{z^2}-1)} $
$ = -frac{z^3-4}{z^5}frac{1}{1-frac{1}{z^2})} $
$ = -frac{z^3-4}{z^5}sum_{n=0}^infty(frac{1}{z^2})^n =$ che ha infiniti elementi negativi(perché?)
$ = -frac{1}{z^2}sum_{n=0}^infty(z^(-2n-2)) + 4sum_{n=0}^infty(z^(-2n-5))
se poi mi poteste fornire delle il metodo su come fare questo tipo di esericizi mi fareste un piacere!
Risposte
Credo che dovresti ripassare un po' meglio la definizione di serie di Laurent, singolarità isolata, residuo e serie geometrica
Ti ringrazio, i link mi sono stati utili!
Ho un'altra domanda: quando ho una funzione del tipo $f(z) = frac{e^{2z^2}-1}{z^5}$ devo portare in forma trigonometrica $e^{2z^{2}}-1$ ?
Ho un'altra domanda: quando ho una funzione del tipo $f(z) = frac{e^{2z^2}-1}{z^5}$ devo portare in forma trigonometrica $e^{2z^{2}}-1$ ?
"cyber5tar86":
Ti ringrazio, i link mi sono stati utili!
Ho un'altra domanda: quando ho una funzione del tipo $f(z) = frac{e^{2z^2}-1}{z^5}$ devo portare in forma trigonometrica $e^{2z^{2}}-1$ ?
A qual pro? Basta usare lo sviluppo della funzione esponenziale.
Grazie per la risposta! era solo un dubbio che avevo 
Devo fare lo sviluppo centrato in $z_0 = 0$ di $\frac{1}{z^3(2-z^7)}$ ma non mi viene specificato in che regione farlo...devo considerare che $|z| < 1$ ?
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