Aiuto per limite
Ciao a tutti, per favore qualcuno può darmi una mano a risolvere questo limite? Ho provato vari modi ma non arrivo mai da nessuna parte.
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^((1+x)/x)-e)/(sin x) $
Il punto di partenza dovrebbe essere scrivere $ (1+x)^((1+x)/x) $ come $ e^(ln(1+x)^((1+x)/x)) $ poi portare l'esponente davanti al logaritmo e applicare il limite notevole $ (ln(1+x))/x = 1 $ ma non so come andare avanti. Comunque il risultato deve essere $ e/2 $. Grazie
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^((1+x)/x)-e)/(sin x) $
Il punto di partenza dovrebbe essere scrivere $ (1+x)^((1+x)/x) $ come $ e^(ln(1+x)^((1+x)/x)) $ poi portare l'esponente davanti al logaritmo e applicare il limite notevole $ (ln(1+x))/x = 1 $ ma non so come andare avanti. Comunque il risultato deve essere $ e/2 $. Grazie
Risposte
puoi provare con lo sviluppo di Taylor una volta per la e elevata a 1-x, e una volta per il seno. oppure applicare de l'Hopital ma devi prima verificare le ipotesi
mah...credo che si possa anche risolvere con i limiti notevoli aggiungendo un $ x/x $ ma proprio non riesco a collegare i pezzi
Puoi scrivere [tex]$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}(1+x)-e}{x} \frac{x}{\sin x}$[/tex] ricordando che vale [tex]$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$[/tex] e che [tex]$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$[/tex]
Ma è ancora una forma indeterminata, devi semplificare ulteriormente.
Ma è ancora una forma indeterminata, devi semplificare ulteriormente.
A me è venuta in mente una strada che impiega i limiti notevoli.
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^((1+x)/x)-e)/(sin x) $
$sin(x) sim x$ e usa le proprietà dei logaritmi per scrivere altrimenti il numeratore:
$lim_( x -> 0 ) (e^((1+x)*ln( 1 + x )/x) - e)/x = e lim_(x -> 0) [e^((1+x)*ln( 1 + x )/x - 1) - 1 ]/x$
$(1+x)*ln( 1 + x )/x - 1 -> 0$ (*) per $x -> 0$
Anche se (*) è infinitesima, non sai che ordine ha. I seguenti passaggi servono a scoprirlo:
$lim_(x -> 0) ((1+x)*ln( 1 + x )/x - 1)/x = lim_(x -> 0) ((1+x)*ln( 1 + x ) - x )/x^2 = 1/2$
Il resto prova a farlo da solo.
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^((1+x)/x)-e)/(sin x) $
$sin(x) sim x$ e usa le proprietà dei logaritmi per scrivere altrimenti il numeratore:
$lim_( x -> 0 ) (e^((1+x)*ln( 1 + x )/x) - e)/x = e lim_(x -> 0) [e^((1+x)*ln( 1 + x )/x - 1) - 1 ]/x$
$(1+x)*ln( 1 + x )/x - 1 -> 0$ (*) per $x -> 0$
Anche se (*) è infinitesima, non sai che ordine ha. I seguenti passaggi servono a scoprirlo:
$lim_(x -> 0) ((1+x)*ln( 1 + x )/x - 1)/x = lim_(x -> 0) ((1+x)*ln( 1 + x ) - x )/x^2 = 1/2$
Il resto prova a farlo da solo.
ti dirò che non ci ho capito molto...a partire dal sostituire sen x con x. E' una sostituzione di Taylor, vero? Ma si può fare su un solo termine? E poi come mai non viene $ e/2 $ ? Forse mi sono perso qualche passaggio...
"minomic":
ti dirò che non ci ho capito molto...a partire dal sostituire sen x con x. E' una sostituzione di Taylor, vero? Ma si può fare su un solo termine?
La sostituzione si può fare. Ci si rifà al limite notevole (come ti ha giustamente spiegato Antimius).
"minomic":
E poi come mai non viene $ e/2 $ ? Forse mi sono perso qualche passaggio...
Non hai letto bene. Il limite che ho svolto, e che vale $1/2$, è servito solamente a determinare l'ordine di infinitesimo dell'esponente di $e$.
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