Aiuto per limite
Ciao, chiedo aiuto per il seguente limite:
Nell'argomento di arctg il rapporto a primo termine, considerando gli infiniti di grado maggiore e trascurando gli altri verrebbe 2. Il prodotto al secondo termine non fa zero perchè a denominatore (x+3) o (x+4) sono un infinito di ordine maggiore de rispettivi numeratori?
$\lim_{x \to \+infty} arctan [(2x^2+logsinhx+3x+2)/(x^2-3x+5logcoshx) - (logsinhx)/(x+3) (logcoshx)/(x+4)] = \pi/4$
Invece dovrebbe venir fuori 1 per giustificare il risultato. Dove sbaglio?
Grazie
Nell'argomento di arctg il rapporto a primo termine, considerando gli infiniti di grado maggiore e trascurando gli altri verrebbe 2. Il prodotto al secondo termine non fa zero perchè a denominatore (x+3) o (x+4) sono un infinito di ordine maggiore de rispettivi numeratori?
$\lim_{x \to \+infty} arctan [(2x^2+logsinhx+3x+2)/(x^2-3x+5logcoshx) - (logsinhx)/(x+3) (logcoshx)/(x+4)] = \pi/4$
Invece dovrebbe venir fuori 1 per giustificare il risultato. Dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Ciao,
ricorda che:
$sinhx=(e^x-e^(-x))/2$ e $coshx=(e^x+e^(-x))/2$
pertanto ad esempio
$logsinhx=log((e^x-e^(-x))/2)=log(e^x(1-e^(-2x))/2)=loge^x+ log((1-e^(-2x))/2) = x+log((1-e^(-2x))/2)$
ricorda che:
$sinhx=(e^x-e^(-x))/2$ e $coshx=(e^x+e^(-x))/2$
pertanto ad esempio
$logsinhx=log((e^x-e^(-x))/2)=log(e^x(1-e^(-2x))/2)=loge^x+ log((1-e^(-2x))/2) = x+log((1-e^(-2x))/2)$
Ok grazie.
Sicuramente la domanda è banale, ma perchè non posso fare l'assunzione di annullare l'addendo (il secondo), considerando che al denominatore c'è un infinito di ordine maggiore?
Sicuramente la domanda è banale, ma perchè non posso fare l'assunzione di annullare l'addendo (il secondo), considerando che al denominatore c'è un infinito di ordine maggiore?
Ciao vitus,
Attenzione che hai scritto $n \to +\infty $ invece di $x \to +\infty $
Beh, perché non è vero...
Infatti in base a ciò che ti ha già scritto Ziben si ha:
$ \lim_{x \to \+infty} arctan[(2x^2+logsinhx+3x+2)/(x^2-3x+5logcoshx) - (logsinhx)/(x+3) (logcoshx)/(x+4)] = $
$ = \lim_{x \to \+infty} arctan[(2x^2)/(x^2) - x^2/((x+3)(x+4))] = arctan[2 - 1] = arctan[1] = \pi/4 $
Attenzione che hai scritto $n \to +\infty $ invece di $x \to +\infty $
"vitus":
perchè non posso fare l'assunzione di annullare l'addendo (il secondo), considerando che al denominatore c'è un infinito di ordine maggiore?
Beh, perché non è vero...
Infatti in base a ciò che ti ha già scritto Ziben si ha:
$ \lim_{x \to \+infty} arctan[(2x^2+logsinhx+3x+2)/(x^2-3x+5logcoshx) - (logsinhx)/(x+3) (logcoshx)/(x+4)] = $
$ = \lim_{x \to \+infty} arctan[(2x^2)/(x^2) - x^2/((x+3)(x+4))] = arctan[2 - 1] = arctan[1] = \pi/4 $
Corretto, grazie
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