Aiuto per la risoluzione di un limite

[ally*17]

Salve a tutti
sono alle prese con lo studio dell'esame di analisi e ho incontrato un limite piuttosto difficile che ho risolto ma purtroppo non mi trovo con il risultato dato da Derive. chiedo il vostro aiuto per trovare l'errore nel mio svolgimento che riporto qui di seguito:
$\lim_{x\to \0}((sin(sqrt(x))/sqrt(x))^(1/x)$
$ e^(\lim_{x\to \0}(log(((sin)sqrt(x))/sqrt(x)))/x)$)
in quanto una forma indeterminata applico L'hospital:
e quindi
$\lim_{x\to \0} (sqrt(x)/ (sen(sqrt(x))) * (sqrt(x)cos(sqrt(x))-sen(sqrt(x)))/(2x(sqrt(x))))$
$ 1/2 \lim_{x \to \0}(sqrt(x)(cos(sqrt(x)))/(sen(sqrt(x))x) - ((sen(sqrt(x)))/((x(sen(sqrt(x)))))) ) $
applicando i limiti notevoli giungo a:
($ (1/2 \lim_{x \to \0}(cosx - 1) / sqrt(x))$ )
e il limite finale viene
$(e^(-1/4))$
il che è sbagliato in quanto il risultato esatto dovrebbe essere
$e^(-1/6)$

spero di aver scritto abbastanza chiaramente tutto il mio procedimento e mi scuso se non sono riuscita a far capire dove ho semplificato e dove ho applicato il limite notevole $(senx)/x$... è la prima volta che scrivo con MathML e sono inesperta.
spero in un vostro aiuto...grazie mille anticipatamente
valentina

[Ziben]

"ally*":...
($ (1/2 \lim_{x \to \0}(cosx - 1) / sqrt(x))$ )
e il limite finale viene
$(e^(-1/4))$

Ciao,
non ho capito come fa l'argomento del coseno a doventare $x$ e non rimanere $sqrt(x)$. D'ogni modo mi pare che semplifichi la situazione utilizzando i limiti notevoli senza però calcolare tutto il limite, cosa che non si può fare. Io farei così:
Innanzitutto
$sqrt(x)=1/y$ così ottengo:

$lim_(y->+oo)(sin(1/y)/(1/y))^(y^2)$

applico per la forma $1^oo$ la formula $lim_(x->+oo)f(x)^(g(x))=lim_(x->+oo)e^((f(x)-1)*g(x))$ quindi mi ritrovo a calcolare: $lim_(y->+oo)(ysin(1/y)-1)y^2$ la scrivo in modo da ottenre una forma $0/0$ e applicare De Hospital:

$lim_(y->+oo)(ysin(1/y)-1)/(1/y^2)$ $=lim_(y->+oo)(sin(1/y)-1/ycos(1/y))/(-2/y^3)$ riapplico De Hospital:

$=lim_(y->+oo)(-1/y^2cos(1/y)+1/y^2cos(1/y)-1/y^3sin(1/y))/(6/y^4)$ $=lim_(y->+oo)(-sin(1/y))/(6*1/y)=-1/6$

da cui il limite iniziale vale $e^(-1/6)$