Aiuto per la risoluzione di un limite.

[mBag]

Non sono sicura di come si risolva $lim_(x->0)(sqrt(1-cos(x)))/x$

Provando con l'hopital non si giunge a conclusione, mentre usando i limiti notevoli del coseno si arriva sempre alla forma indeterminata 0/0.

E' possibile che, poichè $lim_(x->0)((1-cos(x)))/x^2 = 1/2 $ , allora $lim_(x->0)(sqrt(1-cos(x)))/x = sqrt(1/2) $ ?

Inoltre come è possibile disegnare il grafico?
Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

Si', pero' fai attenzione al segno: in un intorno di \(0\) e' chiaro che \(\cos(x) \approx 1 - x^2 /2 + o(x^4)\). Applicato al tuo caso si ha pero' \[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2/2 + o(x^4)}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{|x| \sqrt{1/2 + o(x^2)}}{x} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \] a seconda che si arrivi da destra o da sinistra.

[siddy98]

Quel limite, scritto così, non esiste, come ti ha fatto notare Delirium. Esistono però i limiti da destra e da sinistra.

Un modo semplice per calcolarli potrebbe essere la razionalizzazione: $$\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}=\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{1-\cos ^2x}}{x\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{\sin ^2x}}{x\sqrt{1+\cos x}}$$

Da qui dovrebbe essere facile continuare. (Attenzione: ricorda che $\sqrt{y^2}=|y|$!)

[mBag]

"siddy98":Quel limite, scritto così, non esiste, come ti ha fatto notare Delirium. Esistono però i limiti da destra e da sinistra.

Un modo semplice per calcolarli potrebbe essere la razionalizzazione: $$\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}=\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{1-\cos ^2x}}{x\sqrt{1+\cos x}}=\frac{\sqrt{\sin ^2x}}{x\sqrt{1+\cos x}}$$

Da qui dovrebbe essere facile continuare. (Attenzione: ricorda che $\sqrt{y^2}=|y|$!)

Grazie mille, questo è piu' chiaro