Aiuto per la risoluzione di questa serie
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per risolvere questa serie:
$ sum ((n!)^3) / ((3n)!) $
Siccome si tratta di una Serie a Termini Positivi e il termine generale per $ nrarr oo $ tende a 1, posso applicare i criteri, in questo caso siccome cè un fattoriale uso il criterio del Rapporto. Ottengo:
$ sum ((n!)^3) / ((3n)!) $ = $ lim_(n -> oo) (((n + 1)!)^3)/(3(n + 1)!) * (3n!) /((n!)^3) $ = $ (((n + 1)!)^3(3n!))/((3(n + 1)!)(n!)^3) $
A questo punto, utilizzando l'equivalenza $ (n + 1)! = n!(n+1) $ otteniamo: $ ((n + 1)^3(3n!))/((3(n + 1)!)) $
Ora non saprei più come procedere, lo so che ho fatto solo pochi passaggi, ma in realtà ce ne sarebbero altri ma non so se sono coretti, come ad esempio, fare:
= $ ((n + 1)^3(3n!))/(3(n!(n + 1))) $ = $ ((n + 1)^3(3n!))/(3n!(n + 1)) $ = $ ((n + 1)^3)/(n + 1) $ = $ (n + 1)^2 $ Che farebbe +oo, ma so già che cè qualche errore, perfavore, illuminatemi voi. Grazie a tutti.
$ sum ((n!)^3) / ((3n)!) $
Siccome si tratta di una Serie a Termini Positivi e il termine generale per $ nrarr oo $ tende a 1, posso applicare i criteri, in questo caso siccome cè un fattoriale uso il criterio del Rapporto. Ottengo:
$ sum ((n!)^3) / ((3n)!) $ = $ lim_(n -> oo) (((n + 1)!)^3)/(3(n + 1)!) * (3n!) /((n!)^3) $ = $ (((n + 1)!)^3(3n!))/((3(n + 1)!)(n!)^3) $
A questo punto, utilizzando l'equivalenza $ (n + 1)! = n!(n+1) $ otteniamo: $ ((n + 1)^3(3n!))/((3(n + 1)!)) $
Ora non saprei più come procedere, lo so che ho fatto solo pochi passaggi, ma in realtà ce ne sarebbero altri ma non so se sono coretti, come ad esempio, fare:
= $ ((n + 1)^3(3n!))/(3(n!(n + 1))) $ = $ ((n + 1)^3(3n!))/(3n!(n + 1)) $ = $ ((n + 1)^3)/(n + 1) $ = $ (n + 1)^2 $ Che farebbe +oo, ma so già che cè qualche errore, perfavore, illuminatemi voi. Grazie a tutti.
Risposte
Un attimo... Suppongo che al denominatore ci sia un [tex]$(3n)!$[/tex] e non un [tex]$3\ n!$[/tex], giusto?
Eh già 
, ho corretto, ma allora mi sa che ho sbagliato in principio ad applicare il criterio del rapporto, perchè il denominatore verrebbe: $ (3n + 1)! $ Giusto?
, ho corretto, ma allora mi sa che ho sbagliato in principio ad applicare il criterio del rapporto, perchè il denominatore verrebbe: $ (3n + 1)! $ Giusto?
E quei cubi nel criterio del rapporto da dove escono?
Manca un esponente nel testo?
Per favore, cerca di avere la maggior cura possibile nell'inserire i testi degli esercizi, altrimenti difficilmente troverai qualcuno che sia disposto a lavorarci.
Per quanto riguarda l'esercizio, non è vero che [tex]$(3(n+1))!=3((n+1)\ n!)$[/tex] (vedi l'importanza delle parentesi?!?); però è vero che:
[tex]$(3(n+1))!=3(n+1)\cdot (3(n+1)-1)\cdot (3(n+1)-2)\cdot (3(n+1)-3)! =3(n+1)\cdot (3n+2)\cdot (3n+1)\cdot (3n)!$[/tex]
quindi puoi usare questa relazione per semplificare ancora nel tuo criterio del rapporto.
Manca un esponente nel testo?
Per favore, cerca di avere la maggior cura possibile nell'inserire i testi degli esercizi, altrimenti difficilmente troverai qualcuno che sia disposto a lavorarci.
Per quanto riguarda l'esercizio, non è vero che [tex]$(3(n+1))!=3((n+1)\ n!)$[/tex] (vedi l'importanza delle parentesi?!?); però è vero che:
[tex]$(3(n+1))!=3(n+1)\cdot (3(n+1)-1)\cdot (3(n+1)-2)\cdot (3(n+1)-3)! =3(n+1)\cdot (3n+2)\cdot (3n+1)\cdot (3n)!$[/tex]
quindi puoi usare questa relazione per semplificare ancora nel tuo criterio del rapporto.
Ancora una volta hai ragione, c'erano errori nel testo, ti chiedo scusa, ma vista l'ora sono mezzo rimbambito... Ora ho corretto, per lo meno il testo è giusto. Grazie per la dritta comunque, provo a fare come mi hai suggerito e aggiorno domani.
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