Aiuto per la formula di riduzione di un integrale

[andrew122]

scusate ma non capisco come risolvere una tipologia di esercizio,ritengo che la procedura non sia abbastanza chiara

allora l'esercizio è questo :
posto I0(i di zero) = 1/e scrivere una formula di riduzione per il calcolo
dell’integrale:

\[ \ \$\int_0 ^∞ e^(-x) * x^n dx\$ \]

(n numero naturale), calcolare I3( i di 3) e scrivere (senza dimostrazione) l’espressione generale.


scusate ma proprio non mi viene e non so dove mettere le mani
so che il risultato deve essere 16/e.
Grazie mille per l'aiuto e scusate per il disturbo

PS: il simbolo di dollaro non c'entra nulla ed "e" è elevato alla -x

[theras]

Qualcosa non mi torna,del testo che hai postato,ed è legato al fatto che,
per un risultato abbastanza noto sulle funzioni speciali(la $Gamma$ di Eulero,in particolare..),
s'ha $I_n=int_(0)^(+oo)e^(-x)x^n dx=n"!"$ $AA n in NN$:
se vuoi potrai verificarlo per induzione .
Saluti dal web.
P.S.Sei certo d'aver riportato fedelmente il testo del tuo esercizio?

[ciampax]

Concodro con theras. Inoltre se poni $n=0$ nell'integrale che hai scritto, ottieni $i_0=1$ e non il valore posto per ipotesi; per cui, credo, l'integrale corretto che tu voglia calcolare sia questo:

$I_n=\int_1^{+\infty} e^{-x}\ x^n\ dx$

[theras]

A questo punto mi permetto di dare un consiglio all'OP:
calcolare,per $n in {1,2,3}$,$int x^n*e^(-x) dx$
(la scelta del teorema d'integrazione indefinita "elementare" più opportuno a farlo mi pare evidente per tutti e tre i valori di $n$,
ma se hai bisogno fà pure un fischio ..),
che a quel punto non dovrebbe esser impossibile intuire una formula "chiusa" su quelle famiglie di primitive
(bastano mezzi combinatori elementari,la cui individuazione dovrebbe venire istintiva per quanto,e come,
salta fuori dai conti su quei valori iniziali di $n$..),
tramite la quale sarà possibile calcolare il tuo $I_n$,$AA n in NN$,indipendentemente da quale sia l'estremo inferiore di quell'integrale improprio..
Saluti dal web.