Aiuto per integrali complessi
Salve a tutti. Sono bloccato con la risoluzione di questi due integrali complessi, che probabilmente hanno una simile soluzione.
Il primo è il seguente:
$\int 1/(e^z-1) dz$
Dove il dominio di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 3π.
I miei tentativi sono stati i seguenti: usare il teorema dei residui, ma anche se ho individuato le singolarità (z=0, z=2πi, z=-2πi), non so come sviluppare in serie di Laurent l'integranda.
Ho provato allora a risolvere direttamente l'integrale operando la sostituzione $ z=3πe^(i*t) $, con $ 0<=t<=2π $, anche moltiplicando e dividendo il denominatore per il suo complesso coniugato. Ma non sono riuscito ad approdare a nulla.
Il secondo integrale è il seguente:
$\int 1/(e^(i*z)-1-iz) dz$
Integrato lungo la stessa curva di prima. Qui mi sono comportato come nell'esercizio precedente, con la differenza che ho escluso con certezza il teorema dei residui in quanto vi è una seconda seconda singolarità che non è possibile determinare analiticamente.
Avete qualche suggerimento da dare? Mi accontento anche della soluzione di un solo integrale.
Il primo è il seguente:
$\int 1/(e^z-1) dz$
Dove il dominio di integrazione è la circonferenza di centro l'origine e raggio 3π.
I miei tentativi sono stati i seguenti: usare il teorema dei residui, ma anche se ho individuato le singolarità (z=0, z=2πi, z=-2πi), non so come sviluppare in serie di Laurent l'integranda.
Ho provato allora a risolvere direttamente l'integrale operando la sostituzione $ z=3πe^(i*t) $, con $ 0<=t<=2π $, anche moltiplicando e dividendo il denominatore per il suo complesso coniugato. Ma non sono riuscito ad approdare a nulla.
Il secondo integrale è il seguente:
$\int 1/(e^(i*z)-1-iz) dz$
Integrato lungo la stessa curva di prima. Qui mi sono comportato come nell'esercizio precedente, con la differenza che ho escluso con certezza il teorema dei residui in quanto vi è una seconda seconda singolarità che non è possibile determinare analiticamente.
Avete qualche suggerimento da dare? Mi accontento anche della soluzione di un solo integrale.
Risposte
Per quanto riguarda il primo integrale, $[\int1/(e^z-1)dz]$, data la periodicità della funzione integranda, è sufficiente determinare il residuo in $[z=0]$.
"anonymous_0b37e9":
Per quanto riguarda il primo integrale, $[\int1/(e^z-1)dz]$, data la periodicità della funzione integranda, è sufficiente determinare il residuo in $[z=0]$.
Accetto il consiglio, però non riesco a sviluppare in serie l'integranda, e mi è inutile cercare di ricavare direttamente il residuo perché dovrei calcolare l'integrale stesso, secondo la formula $ a_{-1}=2πi\int f(z)dz$
Qualche suggerimento per sviluppare in serie?
Si tratta di un polo del primo ordine:
$1/(e^z-1)=1/(z+z^2/2+...)=1/z*1/(1+z/2+...)$
Se vuoi l'intero sviluppo, devi procedere con la serie geometrica. Viceversa, puoi calcolare $lim_(z->0)[zf(z)]$.
$1/(e^z-1)=1/(z+z^2/2+...)=1/z*1/(1+z/2+...)$
Se vuoi l'intero sviluppo, devi procedere con la serie geometrica. Viceversa, puoi calcolare $lim_(z->0)[zf(z)]$.
Ti ringrazio molto per l'aiuto. Ti mostro i calcoli solo per avere conferma, se non ti secca.
$1=\lim_{z \to \0}zf(z)=\lim_{z \to \0}=a_{-1}+z\sum_{k=0}^infty a_{k}z^k=a_{-1} $
Allora, poiché come mi hai suggerito $f(z±2\pii)=f(z)$, applicando il teorema dei residui trovo che l'integrale $I$ cercato è uguale a
$I=2\pii*(1+1+1)=6\pii$
Se, anche domani, potessi suggerirmi un metodo per risolvere il secondo integrale, che come accennavo prima non può essere risolto tramiti sviluppi in serie, o almeno credo, ne sarei contentissimo.
$1=\lim_{z \to \0}zf(z)=\lim_{z \to \0}=a_{-1}+z\sum_{k=0}^infty a_{k}z^k=a_{-1} $
Allora, poiché come mi hai suggerito $f(z±2\pii)=f(z)$, applicando il teorema dei residui trovo che l'integrale $I$ cercato è uguale a
$I=2\pii*(1+1+1)=6\pii$
Se, anche domani, potessi suggerirmi un metodo per risolvere il secondo integrale, che come accennavo prima non può essere risolto tramiti sviluppi in serie, o almeno credo, ne sarei contentissimo.
I tuoi calcoli sono corretti. Per quanto riguarda il secondo integrale, il residuo in $[z=0]$ può essere determinato con lo stesso procedimento di prima. Tuttavia, la funzione $[e^(iz)-1-z]$ possiede altre radici (wolframalpha.com):
A questo punto, l'ipotesi più plausibile è che le altre radici cadano fuori, ma bisognerebbe dimostrarlo. Da dove hai preso l'esercizio?
A questo punto, l'ipotesi più plausibile è che le altre radici cadano fuori, ma bisognerebbe dimostrarlo. Da dove hai preso l'esercizio?
Chiedo scusa, mi sono accorto di aver sbagliato a scrivere. C'è un $iz$ al posto di $z$. Ho corretto adesso nel messaggio principale. Comunque il problema non cambia. In realà io avevo già cercato di dimostrare che l'altra singolarità cadesse fuori dal cerchio, anch'io pensavo fosse la cosa più plausibile, ma facendo un po' di magheggi mi è parso il contrario. Ho operato nel seguente modo:
$e^(iz)=1+iz;$
$e^-y*e^(ix)=sqrt((i-y)^2+x^2)e^(ix/(1-y)); $
Eguagliando moduli e fasi ottengo:
${(x=x/(1-y)), (e^(-2y)=1-2y+y^2+x^2):}$
Supponendo $x!=0$, si ricava dalla prima equazione che $y=0$, ma sostituendo nella seconda si ottiene $x=0$: assurdo. Allora $x=0$, e la prima equazione è verificata per ogni y. Bisogna risolvere $f(y)=e^(-2y)=1-2y+y^2=g(y)$. Studiando il segno e l'andamento di $f$ e $g$ ho trovato che hanno un'altra intersezione oltre a y=0. Ho fatto allora un plot e mi sembra che la soluzione sia a circa y=1,3. Poiché dev'essere $|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(y^2)<=3\pi$, direi che la seconda soluzione cade purtroppo all'interno del dominio di integrazione, se non ho sbagliato nulla.
L'esercizio è preso dal testo di un vecchio compito d'esame. Pensi ci possa essere stato qualche errore di battitura nel testo?
$e^(iz)=1+iz;$
$e^-y*e^(ix)=sqrt((i-y)^2+x^2)e^(ix/(1-y)); $
Eguagliando moduli e fasi ottengo:
${(x=x/(1-y)), (e^(-2y)=1-2y+y^2+x^2):}$
Supponendo $x!=0$, si ricava dalla prima equazione che $y=0$, ma sostituendo nella seconda si ottiene $x=0$: assurdo. Allora $x=0$, e la prima equazione è verificata per ogni y. Bisogna risolvere $f(y)=e^(-2y)=1-2y+y^2=g(y)$. Studiando il segno e l'andamento di $f$ e $g$ ho trovato che hanno un'altra intersezione oltre a y=0. Ho fatto allora un plot e mi sembra che la soluzione sia a circa y=1,3. Poiché dev'essere $|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(y^2)<=3\pi$, direi che la seconda soluzione cade purtroppo all'interno del dominio di integrazione, se non ho sbagliato nulla.
L'esercizio è preso dal testo di un vecchio compito d'esame. Pensi ci possa essere stato qualche errore di battitura nel testo?
Veramente, l'equazione $[x=x/(1-y)]$ non è corretta. Il secondo membro è la tangente della fase.
Francamente, l'esercizio mi sembra un po' troppo impegnativo.
"Silviozzo":
Pensi ci possa essere stato qualche errore di battitura nel testo?
Francamente, l'esercizio mi sembra un po' troppo impegnativo.
Va bene allora lascio stare. Grazie di tutto. 
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