Aiuto per integrale indefinito e sostituzione

[lucacasalma]

Salve, l'altro giorno, durante l'esame di analisi, mi sono perso su questo integrale, vi mostro i miei passaggi e vi chiedo una mano per la continuazione!

$ int_()^() (1/(17sinx + 6cosx +18)) dx $

pongo $ t = tan(x/2) $

$ x = 2arctan(t) $

$ dx = 2/(1+t^2) dt $

applicando le formule parametriche ed eseguendo i calcoli ho ottenuto :


$ int_()^() (2/(12t^2 +34t +24)) dt $

che è una fratta di cui non riesco a scomporre il denominatore :\

[Ziben]

Ciao,
quando ho un trinomio $ax^2+bx+c$ che non ha radici reali io faccio cosi:

$A(2ax+b)/(x^2+bx+c)+B1/(x^2+bx+c)$ cioè lo ripeto e in un termine metto a numeratore la derivata del trinomio.

Spero sia chiaro

[sine nomine1]

Io raccoglierei un due a numeratore e denominatore e semplificando ottieni
$ 1/(6t^2+17t+12) $
Ora vedi il denominatore come il quadrato di un binomio, al quale sottrai 1/24 perché il quadrato del secondo termine non fa esattamente 12 come vorresti, così lo "sistemi". E ti viene
$ 1/((sqrt(6)t+17/(2sqrt(6)))^2-1/24) $
Ora una sostituzione buona è chiamare per esempio y tutto quello che c'è nella parentesi...prova e facci sapere

[lucacasalma]

grazie per entambe le risposte ragazzi!
allora, sinceramente sine nomine, non mi sarebbe mai venuto in mente di sottrarre 1/24!

Ziben, sarei interessato a capire meglio la tua soluzione proposta...

In ogni caso spero che non abbiate dato per scontato la vericità di ciò che ho scritto, spero che la sostituzione e i vari calcoli che ho fatto siano corretti

[Ziben]

"lucacasalma":

Ziben, sarei interessato a capire meglio la tua soluzione proposta...

Ciao, scusa il ritardo con cui rispondo. Innanzi tutto volevo farti notare, anche se tardi ormai, che, se il trinomio da te proposto è corretto nei coefficienti, si scompone: $12x^2+34x+24 = 12(x+4/3)(x+3/2)$. Tornando alla soluzione proposta...l'ho trovata in un libro e io poi l'ho sempre applicata un po' bovinamente. Riflettendo sul lavoro di sine nomine e ricontrollando il libro, tale metodica è utile solo nel caso in cui il trinomio non scomponibile non sia l'unico fattore a denominatore, altrimenti lo si lavora sempre come ha fatto sine nomine. Per fare un esempio:
Supponiamo di avere:
$\int 1/(x^2+x+1)dx$
inutile fare come da me proposto si torna da capo, si lavora il trinomio (che non è scomponibile) ricercando un quadrato per ricondursi alla derivata di un'arcotangente.
$x^2+x+1 = x^2 + x + 1/4 + 3/4 = (x+1/2)^2 + 3/4 = 3/4[(2/sqrt(3)(x+1/2))^2+1]$
Se però ci fosse un caso simile:
$\int 1/(x^2(x^2+x+1)dx$
allora si può ricorrere alla scomposizione in fratti:
$A/x+B/x^2 + C(2x+1)/(x^2+x+1) + D 1/(x^2+x+1)$
In una nota l'autore dice che nel terzo fratto a numeratore inserisce la derivata del denominatore perché così si semplificano i calcoli successivi. La giustificazione teorica però non la conosco, sto cercando di colmare questa lacuna.