Aiuto per integrale gaussiano
Ciao a tutti, avrei bisogno di risolvere questo integrale gaussiano, chi può aiutarmi?
\(\displaystyle \int_\mathbb{U} (2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mid \Sigma\mid ^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(u-Kx)^T\Sigma ^{-1}(u-Kx)} u^TRu d\text{u} \)
Si tratta dell'integrale di una gaussiana multivariata di media \(\displaystyle Kx \) e varianza \(\displaystyle \Sigma \).
\(\displaystyle R \) è una costante. \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle K \) sono simmetriche e di dimensione \(\displaystyle n \). \(\displaystyle u \) è un vettore colonna di dimensione \(\displaystyle n \).
Non so come procedere.
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \int_\mathbb{U} (2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mid \Sigma\mid ^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(u-Kx)^T\Sigma ^{-1}(u-Kx)} u^TRu d\text{u} \)
Si tratta dell'integrale di una gaussiana multivariata di media \(\displaystyle Kx \) e varianza \(\displaystyle \Sigma \).
\(\displaystyle R \) è una costante. \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle K \) sono simmetriche e di dimensione \(\displaystyle n \). \(\displaystyle u \) è un vettore colonna di dimensione \(\displaystyle n \).
Non so come procedere.
Grazie in anticipo.
Risposte
CIao! Il dominio di integrazione $U$ cos'è ?
Ciao, scusa avevo dimenticato di specificare che \(\displaystyle \mathbb{U}=\mathbb{R} \).
Comunque ho proseguito un pò nell'integrazione ma rimango ugualmente bloccato. Questo è quello che ho fatto:
Sostituendo \(\displaystyle v=(u-Kx) \) ottengo:
\(\displaystyle
(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mid \Sigma\mid ^{-\frac{1}{2}}\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} (v+Kx)^TR(v+Kx) d\text{u}
\)
Risolvo le parti dell'integrale separatamente, notando che \(\displaystyle x^TKRv = (Kx)^T(v^TR)^T=v^TRKx \):
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} v^TRv d\text{v}=?\)
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} v^TRKx d\text{v}=\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} x^TKRv d\text{v}
=-e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} \Sigma RKx \Bigr|_{-\infty}^\infty=?\)
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} x^TKRKx d\text{v}=((2\pi)^n \mid \Sigma \mid)^{\frac{1}{2}}x^TKRKx
\)
Non so quanto fanno le prime 2 parti dell'integrale.
Comunque ho proseguito un pò nell'integrazione ma rimango ugualmente bloccato. Questo è quello che ho fatto:
Sostituendo \(\displaystyle v=(u-Kx) \) ottengo:
\(\displaystyle
(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\mid \Sigma\mid ^{-\frac{1}{2}}\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} (v+Kx)^TR(v+Kx) d\text{u}
\)
Risolvo le parti dell'integrale separatamente, notando che \(\displaystyle x^TKRv = (Kx)^T(v^TR)^T=v^TRKx \):
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} v^TRv d\text{v}=?\)
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} v^TRKx d\text{v}=\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} x^TKRv d\text{v}
=-e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} \Sigma RKx \Bigr|_{-\infty}^\infty=?\)
\(\displaystyle
\int_\mathbb{U} e^{-\frac{1}{2}v^T\Sigma ^{-1}v} x^TKRKx d\text{v}=((2\pi)^n \mid \Sigma \mid)^{\frac{1}{2}}x^TKRKx
\)
Non so quanto fanno le prime 2 parti dell'integrale.
Penso che tu intendessi $U = \mathbb{R^n}$. In ogni caso io ho fatto così:
Notiamo che $f(u) = (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}} \exp{-\frac{1}{2}(u-Kx)\Sigma^{-1}(u-Kx)}$ è la densità di una variabile aleatoria gaussiana $X \sim N(Kx, \Sigma)$, cioè una normale di media $Kx$ e matrice di covarianza $\Sigma$.
Di conseguenza, se definiamo $g(y) = y^{T}Ry$ con $y \in \mathbb{R^n}$, si ha:
$int_{\mathbb{R^n}} g(u) f(u) du = E[g(X)]= E[X^{T}RX]$
Dove con $E[X]$ indico la speranza di $X$ sotto un'opportuna misura di probabilità $\mathbb{P}$.
Calcoliamo quindi $E[X^{T}RT]$. Siano $R = (r_{kj})_{k=1...n, j =1..n}$ e $Sigma = (\sigma_{kj})_{k=1...n,j=1...n}$:
$E[X^{T}RX] = E[sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} X_k X_j] = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} E[X_k X_j] = A$
Ora utilizziamo il fatto che, se $X, Y$ sono due variabili aleatorie, si ha $Cov(X,Y) = E[YX]-E[X]E[Y]$.
$A = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} (Cov(X_k, X_j) - E[X_k] E[X_j]) = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj}(\sigma_{kj})-sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj}(Kx)_k(Kx)_j = B$
Facendo un po' di conti, e utilizzando che $R, K, \Sigma$ sono matrici simmetriche si ha che:
$B = tr(R\Sigma) - x^{T} KRK x$
In conclusione quindi: $int_{\mathbb{R^n}} (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}} \exp{-\frac{1}{2}(u-Kx)\Sigma^{-1}(u-Kx)} du = tr(R\Sigma) - x^{T} KRK x$
Notiamo che $f(u) = (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}} \exp{-\frac{1}{2}(u-Kx)\Sigma^{-1}(u-Kx)}$ è la densità di una variabile aleatoria gaussiana $X \sim N(Kx, \Sigma)$, cioè una normale di media $Kx$ e matrice di covarianza $\Sigma$.
Di conseguenza, se definiamo $g(y) = y^{T}Ry$ con $y \in \mathbb{R^n}$, si ha:
$int_{\mathbb{R^n}} g(u) f(u) du = E[g(X)]= E[X^{T}RX]$
Dove con $E[X]$ indico la speranza di $X$ sotto un'opportuna misura di probabilità $\mathbb{P}$.
Calcoliamo quindi $E[X^{T}RT]$. Siano $R = (r_{kj})_{k=1...n, j =1..n}$ e $Sigma = (\sigma_{kj})_{k=1...n,j=1...n}$:
$E[X^{T}RX] = E[sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} X_k X_j] = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} E[X_k X_j] = A$
Ora utilizziamo il fatto che, se $X, Y$ sono due variabili aleatorie, si ha $Cov(X,Y) = E[YX]-E[X]E[Y]$.
$A = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj} (Cov(X_k, X_j) - E[X_k] E[X_j]) = sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj}(\sigma_{kj})-sum_{k=1}^n sum_{j=1}^n r_{kj}(Kx)_k(Kx)_j = B$
Facendo un po' di conti, e utilizzando che $R, K, \Sigma$ sono matrici simmetriche si ha che:
$B = tr(R\Sigma) - x^{T} KRK x$
In conclusione quindi: $int_{\mathbb{R^n}} (2\pi)^{-\frac{n}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}} \exp{-\frac{1}{2}(u-Kx)\Sigma^{-1}(u-Kx)} du = tr(R\Sigma) - x^{T} KRK x$
Wow, non so come ringraziarti! Tutto chiaro, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo