Aiuto per Integrale

[Vincent2]

Come risolvereste voi

$int(sqrt(x)/(sqrt(1-sqrt(x))))$

Il denominatore ricorda molto l'arcocoseno, ma non riesco a togliere la radice sopra.
Anche operando una sostituzione

$t = sqrt(x); x = t^2; dx = 2t dt$

$int((2t^3)/(sqrt(1-t^2)))$

[_nicola de rosa]

"Vincent":Come risolvereste voi

$int(sqrt(x)/(sqrt(1-sqrt(x))))$

Il denominatore ricorda molto l'arcocoseno, ma non riesco a togliere la radice sopra.
Anche operando una sostituzione

$t = sqrt(x); x = t^2; dx = 2t dt$

$int((2t^3)/(sqrt(1-t^2)))$

Con la sositutzione che hai fatto si ha $int(2t^2)/(sqrt(1-t))dt$

[alle.fabbri]

ora continua a sostituire con

$t = sin^2 \theta$

[Vincent2]

Anche operando la sostituzione non arrivo a risultati noti...

$t = sen^2(O); dO =2sen(O)cos(O) = sen(2O)$

$2 * int((sen^4(O))/((sqrt(1-sen^2(O))) )* sen(2O)$

[alle.fabbri]

"Vincent":
Anche operando la sostituzione non arrivo a risultati noti...

$ t = sen^2 (O) ; dO=2sen(O)cos(O)=sen(2O)$

$2\int (sen^4(O))/sqrt(1-sen^2(O))sin (2 O) d O$

Attento...quello che hai scritto è inesatto.

se $t = sin^2 \theta$ allora $dt = 2 sin \theta cos \theta d \theta$

quindi l'integrale diventa

$2 \int (sen^5(\theta))/sqrt(1-sen^2(\theta)) cos \theta d \theta$

e siccome $sqrt{1 - sin^2 \theta} = cos \theta$ ti riconduci alla forma

$2 \int sen^5 \theta d \theta$

e questo è fattibile.....

[Vincent2]

C'è da vergognarsi, ma non riesco a risolvere il sen^5(x)
Ho operato in questo modo

$sen^5(x) = sqrt(1-cos^2(x))^5$

Da qui poi sono andato proprio di fantasia...

$sqrt(1-cos^2(x))^4 * sen(x)$

$(1-cos^2(x))^2 * sen(x)$ Qui penso di aver sbagliato di brutto.

Per cercare di avere la derivata del coseno. Ma da qui in poi non riesco piu' ad andare avanti.

[alle.fabbri]

esatto..hai fatto perchè
$(1-cos^2 x)^2⋅sin x = sin x - 2 sin x cos^2 x + sin x cos^5 x $
quindi spezzi in tre integrali, il primo di sin x, il secondo e il terzo sono del tipo
$\int sin x cos^n x dx$
che puoi risolvere considerando che
$(cos^(n+1) x)' = n \ cos^n x * sin x$
e integrando trovi che
$\int cos^n x * sin x dx = (cos^(n+1) x) /(n+1)$

[Vincent2]

In base a cosa fai la prima considerazione??

[alle.fabbri]

fai il calcolo. se fai le cose fatte bene....e io prima non l'ho fatto.....ottieni
$(cos^n x)' = d/(d x) [cos^n x] = n \ cos^(n-1) x * (- sinx )$
insomma è un integrale del tipo
$\int f'(x) \ [f(x)]^n \ dx = ([f(x)]^(n+1))/(n+1)$

[Vincent2]

Non riesco proprio a capire...stiamo parlando della stessa formula? Io intendo
$(1-cos^2 x)^2*sin x = sin x - 2 sin x cos^2 x + sin x cos^5 x $

[alle.fabbri]

si scusa nell'ultimo il cos è elevato alla quarta...cambia il risultato ma non il metodo di soluzione....scusa ancora cmq

[_nicola de rosa]

"nicola de rosa":[quote="Vincent"]Come risolvereste voi

$int(sqrt(x)/(sqrt(1-sqrt(x))))$

Il denominatore ricorda molto l'arcocoseno, ma non riesco a togliere la radice sopra.
Anche operando una sostituzione

$t = sqrt(x); x = t^2; dx = 2t dt$

$int((2t^3)/(sqrt(1-t^2)))$

Con la sositutzione che hai fatto si ha $int(2t^2)/(sqrt(1-t))dt$[/quote]

Proseguirei così:

$(2t^2)/(sqrt(1-t))=(-2(1-t^2))/(sqrt(1-t))+2/(sqrt(1-t))=-2(1+t)*sqrt(1-t)+2/(sqrt(1-t))=2*(1-t)*sqrt(1-t)-4*sqrt(1-t)+2/sqrt(1-t)$
Quindi

$int(2t^2)/(sqrt(1-t))dt=2*int(1-t)^(3/2)dt-4*int(1-t)^(1/2)+2int(1-t)^(-1/2)dt$
=$-4/5*(1-t)^(5/2)+8/3*(1-t)^(3/2)-4*sqrt(1-t)$ e ritornando indietro si ha

$I=-4/5*(1-sqrt(x))^(5/2)+8/3*(1-sqrt(x))^(3/2)-4*sqrt(1-sqrt(x))+k=-4/15*sqrt(1-sqrt(x))*[3*(1-sqrt(x))^2-10*(1-sqrt(x))+15]+k$
=$-4/15*sqrt(1-sqrt(x))*[3+3x-6sqrt(x)-10+10sqrt(x)+15]+k=-4/15*sqrt(1-sqrt(x))*[3x+4sqrt(x)+8]+k$

[sylowww]

Mi sembra che le soluzioni proposte sono inutilmente complesse.
Se poniamo semplicemente $sqrt(1-sqrtx)=t$, da cui $x=(1-t^2)^2$ e quindi $dx=-4t(1-t^2)$, otteniamo semplicemente l'integrale di un polinomio:
$\int(-4(1-t^2)^2)dt$