Aiuto per integrale

[geovito]

Buongiorno,
cortesemente chiedo un aiuto per la risoluzione del seguente integrale.
Ho provato a razionalizzare, a usare le sostituzioni euleriane, ma non ne vengo fuori

$\int 1/(2x+sqrt(x^2 +3))dx$

Il risultato è $2/3 ln|2x+sqrt(x^2+3)|+1/3ln|sqrt(x^2+3) -x|+c$

Grazie

[Mephlip]

Dopo aver razionalizzato, arrivi a:
$$\int\frac{2x}{3(x^2-1)}\text{d}x-\int \frac{\sqrt{x^2+3}}{3(x^2-1)}\text{d}x$$
Il primo è semplice, per il secondo (se conosci le funzioni iperboliche) poni $x=\sqrt{3}\sinh y$. Se non hai studiato le funzioni iperboliche, poni $x=\frac{\sqrt{3}}{2}(e^y-e^{-y})$ (in realtà è la stessa cosa).

Un'alternativa è $x=\sqrt{3}\tan y$.

[pilloeffe]

Ciao vitus,

In effetti magari non ho scelto la strada migliore, ma non è così semplice...
Razionalizzando mi risulta

$ \int 1/(2x+\sqrt(x^2 +3)) \text{d}x = \int (2x-\sqrt(x^2 +3))/(3x^2 - 3) \text{d}x = \int (2x)/(3x^2 - 3) \text{d}x - \int \sqrt(x^2 +3)/(3x^2 - 3) \text{d}x = $
$ = 1/3 \int (2x)/(x^2 - 1) \text{d}x - \int \sqrt(x^2 +3)/(3x^2 - 3) \text{d}x = 1/3 ln|x^2 - 1| - 1/3 \int \sqrt(x^2 +3)/(x^2 - 1) \text{d}x $

Per il secondo integrale porrei $x := \sqrt{3} tan(u) \implies \text{d}x = \sqrt{3}(1 + tan^2 u) \text{d}u $ sicché si ha:

$ - 1/3 \int \sqrt(x^2 +3)/(x^2 - 1) \text{d}x = - \int \sqrt(1 + tan^2 u)/(3tan^2u - 1) (1 + tan^2 u) \text{d}u = - \int (\text{d}u)/(cos u (3sin^2u/cos^2u - 1)) (1/cos^2u) = $
$ = - \int (\text{d}u)/(3sin^2u cos u - cos^3u) = - \int (cos u \text{d}u)/(3 sin^2 u cos^2 u - cos^4u) = $ $ = \int (cos u \text{d}u)/((1 - sin^2 u)^2 - 3 sin^2 u(1 - sin^2 u)) = \int (cos u \text{d}u)/((1 - sin^2 u)(1 - 4 sin^2 u) $

A questo punto, ponendo $t := sin u \implies \text{d}t = cos u du $, l'ultimo integrale diventa il seguente:

$ \int (\text{d}t)/((1 - t^2)(1 - 4 t^2)) = \int (\text{d}t)/((1 - t)(1 + t)(1 - 2 t)(1 + 2t)) = $
$ = \int (A/(1 - t) + B/(1 + t) + C/(1 - 2 t) + D/(1 + 2t)) \text{d}t $

Applicando il principo di identità dei polinomi si ottiene:

$A(1 + t)(1 - 4t^2) + B(1 - t)(1 - 4t^2) + C(1 - t^2)(1 + 2t) + D(1 - t^2)(1 - 2t) = 1 $

$A(1 - 4t^2 + t - 4t^3) + B(1 - 4t^2 - t + 4t^3) + C(1 + 2t - t^2 - 2t^3) + D(1 - 2t - t^2 + 2t^3) = 1 $

${(- 4A + 4B - 2C + 2D = 0),(- 4A - 4B - C - D = 0),(A - B + 2C - 2D = 0),(A + B + C + D = 1):} $

$A = B = - 1/6 $, $C = D = 2/3 $

Quindi si ha:

$ \int (\text{d}t)/((1 - t^2)(1 - 4 t^2)) = 1/6 ln|t - 1| - 1/6 ln|t + 1| - 1/3 ln|2t - 1| + 1/3 ln|2t + 1| + c $

Ricordando che si era posto $t := sin u $ si ha:

$ \int (cos u \text{d}u)/((1 - sin^2 u)(1 - 4 sin^2 u)) = $
$ = 1/6 ln|sin u - 1| - 1/6 ln|sin u + 1| - 1/3 ln|2sin u - 1| + 1/3 ln|2 sin u + 1| + c = $
$ = 1/6 ln|(sin u - 1)/(sin u + 1)| + 1/3 ln|(2 sin u + 1)/(2 sin u - 1)| + c $

A questo punto, ricordando che si era posto $u := arctan(x/\sqrt3) $, si ha:

$ - 1/3 \int \sqrt(x^2 +3)/(x^2 - 1) \text{d}x = 1/6 ln|(sin arctan(x/\sqrt3) - 1)/(sin arctan(x/\sqrt3) + 1)| + 1/3 ln|(2 sin arctan(x/\sqrt3) + 1)/(2 sin arctan(x/\sqrt3) - 1)| + c = $
$ = 1/6 ln|(x/\sqrt(x^2 + 3) - 1)/(x/\sqrt(x^2 + 3) + 1)| + 1/3 ln|((2x)/\sqrt(x^2 + 3) + 1)/((2x)/\sqrt(x^2 + 3) - 1)| + c = 1/6 ln|(x - \sqrt(x^2 + 3))/(x +\sqrt(x^2 + 3))| + 1/3 ln|(2x + \sqrt(x^2 + 3))/(2x - \sqrt(x^2 + 3))| + c $

Pertanto per l'integrale proposto si ha:

$ \int 1/(2x+\sqrt(x^2 +3)) \text{d}x = 1/3 ln|x^2 - 1| + 1/6 ln|(x - \sqrt(x^2 + 3))/(x +\sqrt(x^2 + 3))| + 1/3 ln|(2x + \sqrt(x^2 + 3))/(2x - \sqrt(x^2 + 3))| + c = $
$ = 1/3 ln|x^2 - 1| + 1/6 ln(\sqrt(x^2 + 3) - x) - 1/6 ln(\sqrt(x^2 + 3) + x) + $
$ + 1/3 ln|2x + \sqrt(x^2 + 3)| - 1/3 ln|2x - \sqrt(x^2 + 3)| + c = $
$ = 1/3 ln|x^2 - 1| + 1/6 ln(\sqrt(x^2 + 3) - x) - 1/6 ln(3/(\sqrt(x^2 + 3) - x)) + $
$ + 1/3 ln|2x + \sqrt(x^2 + 3)| - 1/3 ln|(3(x^2 - 1))/(2x + \sqrt(x^2 + 3))| + c = $
$ = 1/3 ln|x^2 - 1| + 1/6 ln(\sqrt(x^2 + 3) - x) - 1/6 ln(3) + 1/6 ln(\sqrt(x^2 + 3) - x) + $
$ + 1/3 ln|2x + \sqrt(x^2 + 3)| - 1/3 ln(3) - 1/3 ln|x^2 - 1| + 1/3 ln|2x + \sqrt(x^2 + 3)| + c = $
$ = 2/3 ln|2x + \sqrt(x^2 + 3)| + 1/3 ln(\sqrt(x^2 + 3) - x) + c $

ove i termini costanti sono stati inglobati nella costante $c$ e nel secondo termine è stato omesso il valore assoluto in quanto l'argomento $\sqrt(x^2 + 3) - x $ è sempre positivo $\AA x \in \RR $