Aiuto per formula - passaggi non chiari
Buongiorno, spero di aver azzeccato la sezione giusta del forum.
Potete aiutarmi a trovare i passaggi per arrivare dalla formula in alto a quella cerchiata di rosso?
Ho provata con le formule di Eulero ma arrivato a un certo punto mi blocco.
Grazie
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t})$
$\bar{\omega} = sqrt{1 - \zeta^2} \omega_n$
$x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega} t - \varphi)$
${(C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2}),(\varphi =arctan(\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2})):}$
Potete aiutarmi a trovare i passaggi per arrivare dalla formula in alto a quella cerchiata di rosso?
Ho provata con le formule di Eulero ma arrivato a un certo punto mi blocco.
Grazie
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t})$
$\bar{\omega} = sqrt{1 - \zeta^2} \omega_n$
$x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega} t - \varphi)$
${(C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2}),(\varphi =arctan(\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2})):}$
Risposte
Ciao Cla1608,
Dai, hai già all'attivo 100 messaggi, possibile che tu debba ricorrerere ad un'immagine per scrivere quelle 5 righe? Te le scrivo io, così magari potrai modificare l'OP scrivendolo in maniera conforme al regolamento...
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t}) $
$\bar{\omega} = sqrt{1 - \zeta^2} \omega_n $
$x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega} t - \varphi) $
${(C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2}),(\varphi =arctan(\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2})):} $
Dai, hai già all'attivo 100 messaggi, possibile che tu debba ricorrerere ad un'immagine per scrivere quelle 5 righe? Te le scrivo io, così magari potrai modificare l'OP scrivendolo in maniera conforme al regolamento...
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t}) $
$\bar{\omega} = sqrt{1 - \zeta^2} \omega_n $
$x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega} t - \varphi) $
${(C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2}),(\varphi =arctan(\frac{C_1 - C_2}{C_1 + C_2})):} $
Ciao ... diciamo che mi è sfuggita questa parte del regolamento, grazie per la trascrizione. Sarò più preciso visto e considerato che come hai detto mi capita di scrivere e chiedere perchè sono un somaro 
In realtà credevo che essendo scritto in maniera chiara non era necessario, messaggio recepito.
In realtà credevo che essendo scritto in maniera chiara non era necessario, messaggio recepito.
"Cla1608":
mi capita di scrivere e chiedere perchè sono un somaro
Beh adesso non ti sottovalutare, è che le figure a lungo andare spariscono e rendono il post praticamente inutile: più che altro è per questo che si insiste per cercare di far scrivere le formule utilizzando gli appositi strumenti...
Partendo da
$ x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} (C_1 e^{i \bar{\omega} t} + C_2 e^{- i \bar{\omega} t}) $
e facendo uso della relazione $e^{\pm i\bar{\omega}t} = cos\bar{\omega}t \pm i sin \bar{\omega}t $ si ottiene
$x(t) = e^{- \zeta \omega_n t} [(C_1 + C_2) cos\bar{\omega}t + i(C_1 - C_2) sin\bar{\omega}t] $
Posto $C_1 + C_2 := C_0 cos\varphi $ e $ i(C_1 - C_2) := C_0 sin\varphi $ si ha:
$x(t) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} (cos\bar{\omega}t cos\varphi + sin\bar{\omega}t sin\varphi) = C_0 e^{- \zeta \omega_n t} cos(\bar{\omega}t - \varphi)$
"pilloeffe":
Posto $C_1 + C_2 := C_0 cos\varphi $
e $ i(C_1 - C_2) := C_0 sin\varphi $ si ha:
Buongiorno, la condizione su $C_(0)$ è la stessa iniziale
$C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2$
??
Non ho capito la domanda...
$C_0 $ è una costante (reale, mentre $C_1 $ e $C_2 $ sono complesse ma la loro somma è reale e la loro differenza immaginaria pura): il valore delle costanti ($C_0 $ e $\varphi $) poi si determina mediante le condizioni iniziali, che non hai scritto ma che tipicamente sono le seguenti:
$x(0) = x_0 = C_1 + C_2 = C_0 cos\varphi $
$\dot{x}(0) = v_0 = - (C_1 + C_2) \omega_n \zeta + i\bar{\omega}(C_1 - C_2) = C_0 ( - \omega_n \zeta cos\varphi + \bar{\omega} sin\varphi) $
$C_0 $ è una costante (reale, mentre $C_1 $ e $C_2 $ sono complesse ma la loro somma è reale e la loro differenza immaginaria pura): il valore delle costanti ($C_0 $ e $\varphi $) poi si determina mediante le condizioni iniziali, che non hai scritto ma che tipicamente sono le seguenti:
$x(0) = x_0 = C_1 + C_2 = C_0 cos\varphi $
$\dot{x}(0) = v_0 = - (C_1 + C_2) \omega_n \zeta + i\bar{\omega}(C_1 - C_2) = C_0 ( - \omega_n \zeta cos\varphi + \bar{\omega} sin\varphi) $
Scusami provo a essere più chiaro, tu hai definito $C_(1)+C_(2))=C_(0)*cos(varphi)$
mentre nelle informazioni che avevo io era $C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2$
Il mio dubbio è questo, la seconda relazione (quella con la radice) che lega $C_(1),C_(2),C_(0)$ è corretta?
mentre nelle informazioni che avevo io era $C_0 =\sqrt{(C_1 - C_2)^2 + (C_1 + C_2)^2$
Il mio dubbio è questo, la seconda relazione (quella con la radice) che lega $C_(1),C_(2),C_(0)$ è corretta?
No, quella relazione non mi torna, anche perché come ti ho già scritto
Quindi diciamo che si potrà scrivere $C_1 = a/2 + i b/2 $ e $C_2 = a/2 - i b/2 \implies C_1 + C_2 = a = C_0 cos\varphi $ e $i(C_1 - C_2) = i(ib) = - b = C_0 sin\varphi $
Pertanto elevando al quadrato e tenendo conto che $sin^2\varphi + cos^2\varphi = 1 $ si ottiene $C_0 = sqrt{a^2 + b^2} $ e $ - b/a = tan\varphi \implies \varphi = arctan(-b/a) $
Poi onestamente non riesco a capire perché scrivere delle relazioni con delle costanti in funzione di altre costanti...
"pilloeffe":
$C_1$ e $C_2 $ sono complesse ma la loro somma è reale e la loro differenza immaginaria pura
Quindi diciamo che si potrà scrivere $C_1 = a/2 + i b/2 $ e $C_2 = a/2 - i b/2 \implies C_1 + C_2 = a = C_0 cos\varphi $ e $i(C_1 - C_2) = i(ib) = - b = C_0 sin\varphi $
Pertanto elevando al quadrato e tenendo conto che $sin^2\varphi + cos^2\varphi = 1 $ si ottiene $C_0 = sqrt{a^2 + b^2} $ e $ - b/a = tan\varphi \implies \varphi = arctan(-b/a) $
Poi onestamente non riesco a capire perché scrivere delle relazioni con delle costanti in funzione di altre costanti...
mi rimane proprio indigesto il concetto di mettere l'unità immaginaria nella definizione delle costanti .... è corretto??? certo che si la risposta visto che stanno ovunque soluzioni di questo tipo ....
Beh sì, se ci pensi $x(t) $ deve essere reale, quindi le due costanti $C_1 $ e $C_2 $ devono essere complesse coniugate.
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