Aiuto per esercizio

[caffè1]

devo risolvere questo esercizio e non so proprio come fare...

sia data la funzione:

f(x) = lim, per n->+inf,{lim, per t->0, [sen^2(n!*pigreco*x)/sen^2(n!*pigreco*x) + t^2]}

disegnarne il grafico e dire se essa è integrabile.

[tristimonia]

se intendi una cosa del genere:

$f(x) = lim_(nto+infty) (lim_(t to0) (sen^2(n!pix))/(sen^2(n!pix) + t^2))$

La variabile non è definita. Dobbiamo considerare i vari casi. Se x è razionale, nella forma $p/q$, con q>0 e n>q la quantità $n!*p/q$ è intera e quindi il seno è sempre = 0. Perciò il limite per t->0 è = 0. Se x è irrazionale la quantità $n!*x$ non sarà mai intera e quindi il seno sarà diverso da zero. In questo caso il limite per t->0 è = 1.

E' la funzione di Dirichlet, che si trova, in varie salse, in quasi tutti i manuali di analisi.
Le domande dell'esercizio sono svianti. Non è possibile tracciarne il grafico, dato che è discontinua in ogni punto di R perchè in ogni intervallo esistono infiniti razionali e irrazionali. Inoltre non è integrabile, almeno secondo Riemann. Secondo Lebesgue sì.

[caffè1]

"tristimonia":se intendi una cosa del genere:

Sì era così. Grazie!