Aiuto per esercizio

[TheHawk90]

Salve a tutti.
Volevo chiedere un aiuto per un esercizio. Mi si chiede di stabilire se la serie

$ sum_(k=1) ^(oo) [ (-1)^k e - (-1- 1/k)^k] $

è convergente o meno. Ho verificato che la successione converge a zero. Dopodiché ho provato a scrivermi le somme parziali della serie nel caso in cui n sia pari e maneggiando un po' (scrivo n=2j, separo i termini in cui k è pari con quelli in cui è dispari in due sommatorie distinte) arrivo a

$ 2-(1+1/(2j))^(2j) + sum_(k=1) ^(j-1)(1+1/(2k+1))^(2k+1) -(1+1/(2k))^(2k) $

C'è un modo per scrivere la cosa dentro la somma come una serie telescopica? Se fosse possibile, avrei praticamente finito.

[Noisemaker]

prova a scriverla cosi:

\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^ne-\left[-\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n =\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^ne- (-1)^n \left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\left[e- \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right]
\end{align*}

[TheHawk90]

Hai ragione, è molto più semplice di quello che stavo provando io
Così si risolve facilmente col criterio di Leibniz sulle serie a termini di segno alterno.

Comunque, è possibile dare una stima della somma usando il metodo che ho provato?

Grazie per le risposte