Aiuto per ese di analisi mat 2 : limiti e successioni di funzioni
Salve a tutti, ho dei problemi con questo limite di funzioni a due variabili.
L'esercizio dice di dimostrare con la DEFINIZIONE che questa funzione è differenziabile nell'origine.
f(x,y) = | x | log (1+y)
ho calcolato le derivate rispetto a x e a y e sono entrambe nulle.
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
Alla fine il limite risulta essere questo
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ |h| log(1+k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
Ora non riesco a capire come risolverlo. come devo procedere?? Ho fatto altri esercizi, ma si trattava di
dimostrare la non esistenza di un limite. Il libro suggerisce di passare a coordinate polari
h = \( \rho cos\vartheta \) k = \( \rho \sin \vartheta \) quindi dice
\( | \rho \cos \vartheta * log(1+\rho \sin \vartheta )| / \rho \leq \rho |\cos \vartheta \sin \vartheta | \)
che tende a zero per roh che tende a zero
Non sono riuscita a capire bene questo metodo dal punto di vista concettuale (per i passaggi ci sono)
Mi chiarite meglio il concetto per favore, oppure avete dei metodi alternativi?
E per questo altro esercizio che avevo postato ma a cui ancora non ha risposto nessuno ?
viewtopic.php?f=36&t=120332
L'esercizio dice di dimostrare con la DEFINIZIONE che questa funzione è differenziabile nell'origine.
f(x,y) = | x | log (1+y)
ho calcolato le derivate rispetto a x e a y e sono entrambe nulle.
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
Alla fine il limite risulta essere questo
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ |h| log(1+k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
Ora non riesco a capire come risolverlo. come devo procedere?? Ho fatto altri esercizi, ma si trattava di
dimostrare la non esistenza di un limite. Il libro suggerisce di passare a coordinate polari
h = \( \rho cos\vartheta \) k = \( \rho \sin \vartheta \) quindi dice
\( | \rho \cos \vartheta * log(1+\rho \sin \vartheta )| / \rho \leq \rho |\cos \vartheta \sin \vartheta | \)
che tende a zero per roh che tende a zero
Non sono riuscita a capire bene questo metodo dal punto di vista concettuale (per i passaggi ci sono)
Mi chiarite meglio il concetto per favore, oppure avete dei metodi alternativi?
E per questo altro esercizio che avevo postato ma a cui ancora non ha risposto nessuno ?
viewtopic.php?f=36&t=120332
Risposte
Hai scritto
cioè in testo
Ma se scrivevi direttamente
lim_((h,k) -> (0,0)) (f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) /(\sqrt(h^2+k^2))
per poi mettere il tutto tra dollari
$lim_((h,k) -> (0,0)) (f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) /(\sqrt(h^2+k^2))$
non era meglio?
(poi il comando "surd" è la prima volta che lo vedo per la radice...)
Comunque a parte le scelte personali che personalmente mi sembravano strane (ma non pretendo ovviamente di cambiarle, ci mancasse altro! era solo un parere personale
), ho scritto soprattutto per
se ti interessa potevi "bumpare" l'altro messaggio (c'è un tasto che si chiama "bump") in modo da farlo tornare "tra i vivi". Ovviamente come tutti gli up, ci sono delle regole e va fatto solo dopo almeno un giorno (e i successivi bump dopo almeno un giorno dai precedenti).
Poi, se non erro, lo stesso tasto del bump compare dopo almeno un giorno.
Tornando all'esercizio
Credo che abbia utilizzato la sostituzione
$|log(1+\rho(sin(\vartheta))|\le \rho(sin(\vartheta))$
che secondo me deriva dal limite notevole
$lim_(x->0) log(1+x)/x=0$.
Altrimenti non saprei come spiegarmela, a dire il vero...!
"Marthy_92":
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
cioè in testo
$ lim_((h,k) -> (0,0) $ [ f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) ] / \( \surd (h^2+k^2) \)
Ma se scrivevi direttamente
lim_((h,k) -> (0,0)) (f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) /(\sqrt(h^2+k^2))
per poi mettere il tutto tra dollari
$lim_((h,k) -> (0,0)) (f(h,k) -f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)k) /(\sqrt(h^2+k^2))$
non era meglio?
(poi il comando "surd" è la prima volta che lo vedo per la radice...)
Comunque a parte le scelte personali che personalmente mi sembravano strane (ma non pretendo ovviamente di cambiarle, ci mancasse altro! era solo un parere personale
), ho scritto soprattutto per"Marthy_92":
E per questo altro esercizio che avevo postato ma a cui ancora non ha risposto nessuno ?
viewtopic.php?f=36&t=120332
se ti interessa potevi "bumpare" l'altro messaggio (c'è un tasto che si chiama "bump") in modo da farlo tornare "tra i vivi". Ovviamente come tutti gli up, ci sono delle regole e va fatto solo dopo almeno un giorno (e i successivi bump dopo almeno un giorno dai precedenti).
Poi, se non erro, lo stesso tasto del bump compare dopo almeno un giorno.
Tornando all'esercizio
"Marthy_92":
Il libro suggerisce di passare a coordinate polari
h = \( \rho cos\vartheta \) k = \( \rho \sin \vartheta \) quindi dice
\( | \rho cos\vartheta \lg (1+ \rho \sin \vartheta)|/ \rho \leq \rho|cos\vartheta sin\vartheta | \)
che tende a zero se rho tende a zero.
Credo che abbia utilizzato la sostituzione
$|log(1+\rho(sin(\vartheta))|\le \rho(sin(\vartheta))$
che secondo me deriva dal limite notevole
$lim_(x->0) log(1+x)/x=0$.
Altrimenti non saprei come spiegarmela, a dire il vero...!
a dire la verità sono nuova nel forum e non ho molta dimestichezza con i vari comandi XD
Comunque grazie delle informazioni sulla possibilità di "bumpare" i messaggi
Ti dispiacerebbe essere più chiaro per favore ? Non ho capito molto bene dal limite fondamentale
riguardante il logaritmo come arrivo a fare quelle maggiorazioni?
\( | \rho \cos \vartheta * log(1+\rho \sin \vartheta )| / \rho \leq \rho |\cos \vartheta \sin \vartheta | \)
Comunque grazie delle informazioni sulla possibilità di "bumpare" i messaggi
Ti dispiacerebbe essere più chiaro per favore ? Non ho capito molto bene dal limite fondamentale
riguardante il logaritmo come arrivo a fare quelle maggiorazioni?
\( | \rho \cos \vartheta * log(1+\rho \sin \vartheta )| / \rho \leq \rho |\cos \vartheta \sin \vartheta | \)
"Marthy_92":
Ti dispiacerebbe essere più chiaro per favore ? Non ho capito molto bene dal limite fondamentale
riguardante il logaritmo come arrivo a fare quelle maggiorazioni?
\( | \rho \cos \vartheta * log(1+\rho \sin \vartheta )| / \rho \leq \rho |\cos \vartheta \sin \vartheta | \)
Guarda, non ne sono sicuro, come ho detto se non è per questo non so cosa dire. Comunque
$sin(\vartheta)$ (per il coseno è uguale, ma a me interessa il seno) è una quantità limitata al variare di $\theta$ e vale sempre tra $-1$ e $1$.
Dunque ricordo che
$lim_(x->0) \frac{log(1+x)}{x}=0$
dall'analisi I che, in un intorno di zero mi dice anche
$log(1+x) \le x$.
Ora, per $rho->0$ dunque
$lim_(\rho->0) \frac{log(1+\rho sin(\vartheta))}{\rho sin(\vartheta)}=0$
che è la stessa cosa che ho detto prima (il seno è una piccola quantità ininfluente e indipendente da $\rho$),
dunque in un intorno di $0$ (per $\rho$) ho
$log(1+\rho sin(vartheta))\le \rho sin(\vartheta)$
uguale a prima.
Quindi, sostituendo il tutto hai - sempre in un intorno di zero per $\rho$ - la seguente
$|\rho cos(\vartheta) log(1+\rho sin(\vartheta))| \le |rho cos(\vartheta) \rho sin(\vartheta)|= \rho^2 |cos(\vartheta) sin(\vartheta)|$
che è quello che cerchiamo, ricordando che "un" $\rho$ si semplifica con il denominatore che qui ho deliberatamente tralasciato. Inoltre il $\rho$ va tranquillamente fuori dal valore assoluto perché per definizione $\rho \ge 0$.
Io l'ho interpretata così! Buona domenica.
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