Aiuto per equazione in campo complesso e studio di funzione.
Salve a tutti. Sono uno studente universitario come, presumo, molti degli utenti del forum. So perfettamente che agosto sia sinonimo di relax, ma ho alcuni quesiti e sarò davvero riconoscente a coloro che avranno la pazienza di considerare le mie domande.
Premetto che questi esercizi sono stati proposti ad una prova scritta di Istituzioni di Matematiche I per il corso in Scienza dei Materiali, e con ciò intendo dire che il programma di analisi è abbastanza sostanzioso ma, ovviamente, non ai livelli del corso di laurea in Matematica.
Detto questo, il primo quesito riguarda un equazione in campo complesso:
$ z = (2k+i)(2i+ 1/k )+ 1/( ik-1)^( 2) $
L'esercizio richiede di determinare i valori di $ k in RR $ per cui z è un numero immaginario puro.
Io ho provato a risolverlo facendo tutti i vari calcoli per arrivare al cassico sistema di due equazioni, una per la parte reale e una per la parte immaginaria, da risolvere in campo reale ponendo la parte reale uguale a 0 e quella immaginaria diversa da 0. A conti fatti (che penso siano giusti ma come si usa dire: "Errare humanum est) il sistema è:
$ 8( k)^( 3)+2k+1 =0 $
$ -4( k)^( 4)+3( k)^( 3) +1 !=0 $
La prima equazione è la parte reale, la seconda quella immaginaria. Il problema è: come si risolve questo sistema? Esistono metodi per abbassare di grado un polinomio, oltre Ruffini, che potrebbero rientrare in un programma di Analisi 1? (con Ruffini non c'è stato nulla da fare)
Bene, questa è la prima questione. La seconda questione potrebbe essere molto più banale e, probabilmente, mi sfugge l'illuminazione per la risoluzione. Dunque, come procedete nello studio di funzione di:
$ f(x)= 2arcocotgsqrt( | x+1| )+ln(1+| 1+x|)-2pi $
??
Io nel tentativo di determinarne la positività non so come destreggiarmi con quell'arccotg e quel logaritmo. Volendola mettere in forma esponenziale per togliere il logaritmo mi ritrovo con un arccotg all'esponente; farne la cotangente per togliere l'arccotg è ancora peggio. Insomma: che si fa?
Ringrazio tutti coloro che mi risponderanno, anche senza soluzione. (Per la buona volontà di aver letto questo papiro).
Ciao, Francesco.
Premetto che questi esercizi sono stati proposti ad una prova scritta di Istituzioni di Matematiche I per il corso in Scienza dei Materiali, e con ciò intendo dire che il programma di analisi è abbastanza sostanzioso ma, ovviamente, non ai livelli del corso di laurea in Matematica.
Detto questo, il primo quesito riguarda un equazione in campo complesso:
$ z = (2k+i)(2i+ 1/k )+ 1/( ik-1)^( 2) $
L'esercizio richiede di determinare i valori di $ k in RR $ per cui z è un numero immaginario puro.
Io ho provato a risolverlo facendo tutti i vari calcoli per arrivare al cassico sistema di due equazioni, una per la parte reale e una per la parte immaginaria, da risolvere in campo reale ponendo la parte reale uguale a 0 e quella immaginaria diversa da 0. A conti fatti (che penso siano giusti ma come si usa dire: "Errare humanum est) il sistema è:
$ 8( k)^( 3)+2k+1 =0 $
$ -4( k)^( 4)+3( k)^( 3) +1 !=0 $
La prima equazione è la parte reale, la seconda quella immaginaria. Il problema è: come si risolve questo sistema? Esistono metodi per abbassare di grado un polinomio, oltre Ruffini, che potrebbero rientrare in un programma di Analisi 1? (con Ruffini non c'è stato nulla da fare)
Bene, questa è la prima questione. La seconda questione potrebbe essere molto più banale e, probabilmente, mi sfugge l'illuminazione per la risoluzione. Dunque, come procedete nello studio di funzione di:
$ f(x)= 2arcocotgsqrt( | x+1| )+ln(1+| 1+x|)-2pi $
??
Io nel tentativo di determinarne la positività non so come destreggiarmi con quell'arccotg e quel logaritmo. Volendola mettere in forma esponenziale per togliere il logaritmo mi ritrovo con un arccotg all'esponente; farne la cotangente per togliere l'arccotg è ancora peggio. Insomma: che si fa?
Ringrazio tutti coloro che mi risponderanno, anche senza soluzione. (Per la buona volontà di aver letto questo papiro).
Ciao, Francesco.
Risposte
Procediamo così :
deve essere $k ne 0 $ altrimenti perde significato il secondo fattore del prodotto.
Eseguiamo i calcoli $ ( 2k+i)(2i+1/k )= 4ki+i/k=(4k+1/k)i $ quindi questa parte rappresenta un numero immaginario puro $AAk ne 0 $ ricordando che $k in RR$.
Per soddisfare il problema anche la seconda parte deve essere un numero immaginario puro : $1/((1-k^2)-2ki) $ " razionalizzo " ottenendo $ ((1-k^2)+2ki)/((1-k^2)^2-4k^2i^2) $ ; il denominatore è un numero reale , bisogna allora che il numeratore sia un numero immaginario puro : $1-k^2 =0 $ da cui $k=+-1$.
deve essere $k ne 0 $ altrimenti perde significato il secondo fattore del prodotto.
Eseguiamo i calcoli $ ( 2k+i)(2i+1/k )= 4ki+i/k=(4k+1/k)i $ quindi questa parte rappresenta un numero immaginario puro $AAk ne 0 $ ricordando che $k in RR$.
Per soddisfare il problema anche la seconda parte deve essere un numero immaginario puro : $1/((1-k^2)-2ki) $ " razionalizzo " ottenendo $ ((1-k^2)+2ki)/((1-k^2)^2-4k^2i^2) $ ; il denominatore è un numero reale , bisogna allora che il numeratore sia un numero immaginario puro : $1-k^2 =0 $ da cui $k=+-1$.
benvenuto nel forum.
per il primo esercizio, non so quale procedimento hai usato per ricondurti a quelle due espressioni. io ho provato a moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il coniugato del denominatore, in modo da lavorare solo con i reali, anche perché la parte precedente la frazione ha come risultato un immaginario puro. non è necessario risolvere la disequazione "parte immaginaria diversa da zero": basta trovare le soluzioni dell'altra equazione e verificare i risultati.
io con il metodo che ti ho detto, se non ho sbagliato i calcoli, ho ottenuto per la parte reale $(-k^2+1)/(k^2+1)^2=0$, da cui $k=+-1$. (mi pare che la parte immaginaria venga $+-11/2$.
per l'altro esercizio, non so che cosa ti sia richiesto espressamente, perché di solito si può anche prescindere dal trovare con esattezza le intersezioni con gli assi, quando si hanno equazioni non risolvibili per via elementare.
ti potrei suggerire di tener conto che la funzione $arcocotg$ assume valori $in [0,pi]$ e dunque tutta la parte senza il logaritmo è compresa tra $-2pi$ e $0$, mentre il $ln$ con quell'argomento è sempre positivo. si tratta quindi di vedere quando il logaritmo è $>=2pi$ e confrontare i grafici delle componenti quando è verificata la disuguaglianza opposta.
spero di esserti stata utile. ricontrolla e facci sapere. ciao.
per il primo esercizio, non so quale procedimento hai usato per ricondurti a quelle due espressioni. io ho provato a moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per il coniugato del denominatore, in modo da lavorare solo con i reali, anche perché la parte precedente la frazione ha come risultato un immaginario puro. non è necessario risolvere la disequazione "parte immaginaria diversa da zero": basta trovare le soluzioni dell'altra equazione e verificare i risultati.
io con il metodo che ti ho detto, se non ho sbagliato i calcoli, ho ottenuto per la parte reale $(-k^2+1)/(k^2+1)^2=0$, da cui $k=+-1$. (mi pare che la parte immaginaria venga $+-11/2$.
per l'altro esercizio, non so che cosa ti sia richiesto espressamente, perché di solito si può anche prescindere dal trovare con esattezza le intersezioni con gli assi, quando si hanno equazioni non risolvibili per via elementare.
ti potrei suggerire di tener conto che la funzione $arcocotg$ assume valori $in [0,pi]$ e dunque tutta la parte senza il logaritmo è compresa tra $-2pi$ e $0$, mentre il $ln$ con quell'argomento è sempre positivo. si tratta quindi di vedere quando il logaritmo è $>=2pi$ e confrontare i grafici delle componenti quando è verificata la disuguaglianza opposta.
spero di esserti stata utile. ricontrolla e facci sapere. ciao.
I calcoli o li abbiamo sbagliati in due oppure son giusti
infatti la cosa mi conforta!
*Immaginate che, in questo spazio, sia scritta un'ESCLAMAZIONE di stupore che, per non essere volgare, non scrivo esplicitamente.* 
Siete stati davvero illuminanti, la risposta riguardo all'equazione non sarebbe potuta essere più esaustiva. Per la funzione la richiesta era il tipico "Studiare e tracciare il grafico approssimativo...bla...bla...bla", comunque quelle indicazioni mi hanno aperto gli occhi. Tenterò lo studio domani.
Grazie mille!
PS: Per caso conoscete qualche testo dove siano proposti esercizi ugualmente malefici? Quelli che ho consultato io, Bertsch-Dal Passo e Marcellini-Sbordone, non hanno nulla del genere. (altrimenti avrei potuto prepararmi a dovere e l'esame sarebbe stato ormai un lontano ricordo...)
Ciao, Francesco.
Siete stati davvero illuminanti, la risposta riguardo all'equazione non sarebbe potuta essere più esaustiva. Per la funzione la richiesta era il tipico "Studiare e tracciare il grafico approssimativo...bla...bla...bla", comunque quelle indicazioni mi hanno aperto gli occhi. Tenterò lo studio domani.
Grazie mille!
PS: Per caso conoscete qualche testo dove siano proposti esercizi ugualmente malefici? Quelli che ho consultato io, Bertsch-Dal Passo e Marcellini-Sbordone, non hanno nulla del genere. (altrimenti avrei potuto prepararmi a dovere e l'esame sarebbe stato ormai un lontano ricordo...)
Ciao, Francesco.
prego!
non so consigliarti qualche testo in particolare, però puoi vedere anche sul sito di matematicamente e in questi topic:
https://www.matematicamente.it/forum/ric ... tml#234003
https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 30931.html
https://www.matematicamente.it/forum/ric ... 31082.html
https://www.matematicamente.it/forum/dominio-t31174.html
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... tml#235965
ciao e buono studio!
non so consigliarti qualche testo in particolare, però puoi vedere anche sul sito di matematicamente e in questi topic:
https://www.matematicamente.it/forum/ric ... tml#234003
https://www.matematicamente.it/forum/sul ... 30931.html
https://www.matematicamente.it/forum/ric ... 31082.html
https://www.matematicamente.it/forum/dominio-t31174.html
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... tml#235965
ciao e buono studio!
Buonasera Ada, potresti controllarmi, per favore, quest'esercizio che si trova in questo link https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 61220.html?
Ho dei dubbi.
Non so se l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme numerico sono scritti esatti e non so se ho specificato bene quale sia il minimo e il massimo dell'insieme numerico.
In attesa di una tua risposta, ti invio cari saluti.
Ti ringrazio anticipatamente.
A presto.
Buonanotte e sogni d'oro
Ho dei dubbi.
Non so se l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme numerico sono scritti esatti e non so se ho specificato bene quale sia il minimo e il massimo dell'insieme numerico.
In attesa di una tua risposta, ti invio cari saluti.
Ti ringrazio anticipatamente.
A presto.
Buonanotte e sogni d'oro
ti hanno risposto, e mi pare corretto: min e max nei due casi di k<4 e k>4 si hanno per n=1. sup e inf sono +-infinito per n->infinito.
buona notte!
buona notte!
Il campo di esistenza è C.E. $ AAx in R $
Monotonia della funzione
$ d/dx f(x) = 0 -> x = - 2 vv x =0 $
$ d/dx f(x) > 0 -> -2 0 $
$ d/dx f(x) < 0 -> x < - 2 vv -1
Monotonia della funzione
$ d/dx f(x) = 0 -> x = - 2 vv x =0 $
$ d/dx f(x) > 0 -> -2
$ d/dx f(x) < 0 -> x < - 2 vv -1
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