Aiuto per equazione differenziale
ciao a tutti, colgo anche l'occasione per presentarmi visto che sono nuovo!
Mi aiutate a risolvere questo esercizio?
$2y''-y=x(e^x)$
grazie mille a tutti!
Mi aiutate a risolvere questo esercizio?
$2y''-y=x(e^x)$
grazie mille a tutti!
Risposte
ps: la soluzione dell'omogenea associata è:
$Ae^((-1-sqrt2)/2) + Be^((-1+sqrt2)/2)$
giusto?
$Ae^((-1-sqrt2)/2) + Be^((-1+sqrt2)/2)$
giusto?
A me sembra:
$Ae^{\sqrt{2}/2x}+Be^{-\sqrt{2}/2x}$
$Ae^{\sqrt{2}/2x}+Be^{-\sqrt{2}/2x}$
hai ragione ! ma dopo aver trovato l'omogenea associata come si procede?
per trovare una soluzione particolare del non omogeneo puoi appplicare il metodo delle variazioni delle costanti oppure piu semplice trovi una soluzione particolare del tipo del termine noto. cioè del tipo $(ax+b)e^{x}$ con $a,b\in\mathbb{R}$ da trovare. almeno credo che debba essere di questo tipo
Già in realtà è da qualche giorno che si aprono vari post su questo argomento... quindi vediamo se così si riesce a salvare qualcuno...
Chiamando $P(x)$ il polinomio complesso associato all'equazione differenziale omogenea e se il termine non omogeneo è della forma $f(x)=Q(x)e^{cx}$, allora si può determinare la soluzione particolare abbastanza semplicemente:
Se poi $q$ è il grado di $Q(x)$ e $p$ la molteplicità con cui $c$ è radice di $P(x)$:
[size=150]$\sum_{k=p}^{p+q}{P^{(k)}(c)}/{k!}R^{(k)}(x)=Q(x)$[/size]
Dove $R(x)=r_0x^p+r_1x^{1+p}+...+r_qx^{q+p}$.
La soluzione particolare sarà quindi:
$y_0(x)=R(x)e^{cx}$
La formula in grassetto serve per determinare i coefficienti di $R(x)$, ma si può benissimo fare come sempre ossia derivrae e poi sostituire nell'equazione...
L'importante è che ora sappiamo almeno come deve essere la soluzione da provare, una volta conosciuti $p$ e $q$.
Chiamando $P(x)$ il polinomio complesso associato all'equazione differenziale omogenea e se il termine non omogeneo è della forma $f(x)=Q(x)e^{cx}$, allora si può determinare la soluzione particolare abbastanza semplicemente:
Se poi $q$ è il grado di $Q(x)$ e $p$ la molteplicità con cui $c$ è radice di $P(x)$:
[size=150]$\sum_{k=p}^{p+q}{P^{(k)}(c)}/{k!}R^{(k)}(x)=Q(x)$[/size]
Dove $R(x)=r_0x^p+r_1x^{1+p}+...+r_qx^{q+p}$.
La soluzione particolare sarà quindi:
$y_0(x)=R(x)e^{cx}$
La formula in grassetto serve per determinare i coefficienti di $R(x)$, ma si può benissimo fare come sempre ossia derivrae e poi sostituire nell'equazione...
L'importante è che ora sappiamo almeno come deve essere la soluzione da provare, una volta conosciuti $p$ e $q$.
In questo caso per esempio, dove $p=0$ e $q=1$, la soluzione particoalre da provare è: $y_p(x)=(ax^0+bx^{1+0})e^{ct}=(a+bx)e^{cx}$
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