Aiuto per determinare la convergenza di serie

[pavonis1]

Ho un esercizio che mi chiede di determinare la convergenza di queste 2 serie:



Devo utilizzare Taylor per sviluppare i termini sin, cos esponenziale e log?
Come posso procedere nel modo più semplice possibile? Grazie mille in anticipo!

[deserto1]

Per la prima serie io ragionerei così:
intanto osservo che l'argomento della serie è sempre positivo e poi che:

$(\pi^n+sin(n))/(4^n-e^(-n))<=(\pi^n+1)/4^n=(\pi/4)^n+(1/4)^n$ da cui ne segue che la nostra serie è convergente per il criterio del confronto.


Correzione: quanto da me scritto sarebbe corretto se fosse $(\pi^n+sin(n))/(4^n+e^(-n))$, così come notato da altri users.

[miuemia]

la seconda converge per confronto con la serie che ha termine generico $1/(nlog^{t}n)$, la quale è convergente per $t>1$

[pavonis1]

In riferimento alla risposta di deserto:

Per quanto riguarda la maggiorazione del numeratore e cioè de sin(n) con 1 è ok,
ma per il denominatore poiche 4^n > 4^n - e^(-n) allora la frazione diventerebbe più piccola e non più grande!

Quindi l'assunzione sul denominatore non mi sembra corretta...

[pavonis1]

"miuemia":la seconda converge per confronto con la serie che ha termine generico $1/(nlog^{t}n)$, la quale è convergente per $t>1$

Ciao, miuemia.
Mi potresti dare delle delucidazioni sulla tua assunzione $1/(nlog^(t)n)$ che converge per $t>1$ ...Grazie

[miuemia]

utilizza il criterio dell'integrale...hai che quella serie converge se e solo se $\int_1^{\infty} 1/(nlog^{t}n)<\infty$

[dissonance]

"pavonis":
Per quanto riguarda la maggiorazione del numeratore e cioè de sin(n) con 1 è ok,
ma per il denominatore poiche 4^n > 4^n - e^(-n) allora la frazione diventerebbe più piccola e non più grande!

Quindi l'assunzione sul denominatore non mi sembra corretta...

Guarda che ha ragione deserto.
Se hai una frazione $a/b$, e $b>c, a>0$, allora $a/b

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[pavonis1]

Si ma nel passaggio che ha fatto deserto il denominatore sta diventando più grande e non più piccolo!

E' come se avessi

$1/(4-1)=1/3$ che suppongo <= $1/4$

[dissonance]

@pavonis: è vero hai ragione tu ... Non avevo visto il segno meno davanti a $e^(-n)$, come probabilmente è successo anche a deserto. Beh a questo punto provo a risolvere io. Per $n\toinfty$, $e^(-n)\to0$ e $sinn$ non è regolare, ma comunque rimane limitata. Di conseguenza, rispetto a $4^n, pi^n$ rispettivamente, sono trascurabili al limite.
Quindi la prima serie, il cui termine generale è di sicuro positivo (almeno definitivamente), ha il termine generale equivalente al limite a $(pi/4)^n$. Si tratta ora di stabilire se $sum(pi/4)^n$ converge, cosa che lascio a te.

[pavonis1]

Sono riuscito a risolverla con il criterio della radice...
infatti il limite ad infinito della radice tende a $pi/4<1$ e quindi la serie converge!

[dissonance]

Proprio in questi ultimissimi giorni si parlava del confronto con integrale in questo topic. In particolare, verso la fine c'è un post di ViciousGoblin che spiega in maniera (per me) molto chiara come funziona questo criterio.

[pavonis1]

Volevo fare un appunto sulla seconda serie.

$ int_1^infty 1/(n*log^2n) = infty, $
$ int_2^infty 1/(n*log^2n)=1/log(2) $

quindi il termine per n = 1 deve essere studiato separatamente nella serie di partenza e non influenza il risulato in quanto è uguale a $cos(1)/3$

[dissonance]

Beh però anche la seconda serie, secondo me, converge. Inoltre la convergenza è assoluta e si può dimostrare per confronto.
Infatti, se consideri $(|cosn|)/(|3-n^2logn|)$, come vedi hai un numeratore limitato e un denominatore che, al limite, è equivalente a $n^2logn$. Ricordiamoci che $sum1/(n^2logn)$ è una serie convergente.

Una maniera di procedere è allora per confronto diretto: dal fatto che $|cosn|<=1$ e $|3-n^2logn|>=||n^2logn|-3|$, segue che $(|cosn|)/(|3-n^logn|)<=1/(||n^2logn|-3|)$. E quest'ultima serie è evidentemente equivalente a $sum1/(n^2logn)$. Giusto?

[pavonis1]

La serie di partenza era $sum_1^infty cos(n)/(3-nlog^2n)$ e non $sum_1^infty cos(n)/(3-n^2logn)$
comunque a parte questa precisazione io ho studiato separatamente il primo termine per n=1 e viene un numero $=cos(1)/3$.

x dissonance: anche se la serie fosse stata quella che dici tu il primo termine va studiato separamente altrimenti per n=1 esso farebbe divergere la serie con cui hai maggiorato.

Successivamente ho studiato la serie assoluta con le somme che partono da n=2 maggiorando il cos(n) con 1, eliminando 3 al denominatore, cioè continuando a maggiorare la serie. Quindi ciò che rimane da studiare è il comportamento di:

$sum_2^infty 1/(nlog^2n)$

Applicando pertanto il criterio di confronto con l'integrale ottengo:

$int_2^infty 1/(n*log^2n)=1/log(2)$

A questo punto avendo l'integrale limite finito posso concludere che la serie converge!

Tanto per risultare ancora più chiaro se non studiassi il primo termine separatamente avrei $int_1^infty 1/(n*log^2n)=infty$ e quindi non potrei dire che la serie converge con il criterio del confronto con integrale noto anche come teorema di Mac-Laurin!