Aiuto per comprendere un passaggio in un limite

[fbcyborg]

Salve a tutti,

lo so forse è una cavolata ma non riesco a capirlo benissimo.

Devo calcolare il seguente limite:
$lim_(z->k\pi) \frac{1}{\sin z}(z-k\pi)$
Nel passaggio successivo il libro fa così:
$lim_(z->k\pi) (-1)^k\frac{1}{\sin (z-k\pi)}(z-k\pi)$

Sebbene io riesca a intuire e a giustificare questo passaggio, non ne sono del tutto convinto.
Come si deve ragionare quando ci si trova di fronte a questo $(-1)^k$?
Cioè, lo capisco che serve per evidenziare l'alternanza del segno, solo che mi manca qualcosa per comprenderlo a fondo.

Grazie.

[holmes1]

sen z = - sen( z-p)
sen(z-p) = - sen( z-p-p)=-sen(z-2p)...nota sen z = -1^2 sen( z-2p)...segue sen z= -1^k sen(z-kp)

[fbcyborg]

Grazie mille!!!

[piero_1]

"holmes":sen z = - sen( z-p)
sen(z-p) = - sen( z-p-p)=-sen(z-2p)...nota sen z = -1^2 sen( z-2p)...segue sen z= -1^k sen(z-kp)

Mi permetto di tradurre per i posteri, sperando di non fare pasticci
$sen z = - sen( z-pi)
$sen(z-pi) = - sen( z-pi-pi)=-sen(z-2pi)$...nota $sen z = (-1)^2 sen( z-2pi)$...segue
$sen z=( -1)^k sen(z-kpi)