Aiuto passaggio coordinate Polari integrale doppio
salve a tutti.. io ho questo esercizio:
$int int x/(x^2+y^2)^(3/2) dxdy$
su $e={(x;y)€R^2: x^2+y^2>=1; 0<=x<=y<=2}$
allora ho disegnato il dominio e controllato col pc e mi è venuto giusto... il problema è calcolare l'integrale che è alquanto difficoltoso così...
tramite wolfram alpha l'ho impostato così com'è per vedere se avevo individuato bene gli estremi di integrazione e il risultato è venuto giusto, poi per tentare di farlo, ho pensato che sarebbe stato ottimale passare in coordinate polari dunque
$x=rho cos (theta)$
$y=rho sin (theta)$
sostituisco e mi viene
$1/rho drho$
$cos (theta) d$$theta$
per il $theta$ nessun problema, dal dominio metto da $pi/4$ a $pi/2$
ma per il $rho$ non ho proprio idea di come fare... cioè... dovrebbe partire da 1 se non sbaglio; però non so come calcolare 'altro estremo.. che in y sarebbe 2.. se vi serve il disegno del dominio lo faccio e lo uppo... ditemi voi..
Attendo delucidazioni
Grazie!
$int int x/(x^2+y^2)^(3/2) dxdy$
su $e={(x;y)€R^2: x^2+y^2>=1; 0<=x<=y<=2}$
allora ho disegnato il dominio e controllato col pc e mi è venuto giusto... il problema è calcolare l'integrale che è alquanto difficoltoso così...
tramite wolfram alpha l'ho impostato così com'è per vedere se avevo individuato bene gli estremi di integrazione e il risultato è venuto giusto, poi per tentare di farlo, ho pensato che sarebbe stato ottimale passare in coordinate polari dunque
$x=rho cos (theta)$
$y=rho sin (theta)$
sostituisco e mi viene
$1/rho drho$
$cos (theta) d$$theta$
per il $theta$ nessun problema, dal dominio metto da $pi/4$ a $pi/2$
ma per il $rho$ non ho proprio idea di come fare... cioè... dovrebbe partire da 1 se non sbaglio; però non so come calcolare 'altro estremo.. che in y sarebbe 2.. se vi serve il disegno del dominio lo faccio e lo uppo... ditemi voi..
Attendo delucidazioni
Grazie!
Risposte
Ciao. Guarda, modifica un po' il messaggio perché non si capisce bene. Soprattutto ricordati che il simbolo di integrale si ottiene con " int " e la lettera $rho$ con " rho ". Usa il pulsante MODIFICA che trovi in alto a destra nel primo post. Grazie.
nessuno riesce ad aiutarmi?????
Non so se sbaglio io ma non lo vedo agile il passaggio in coordinate polari.
Il nucleo dell'integrale direi che si integra facilmente in $x$, per cui secondo me è meglio spezzare il dominio e integrare prima in $x$ poi in $y$.
Per $y$ separi i casi $\sqrt{1/2} < y <1$ e $1 < y < 2$, e per ciascuno dei due casi non è difficile scrivere l'intervallo di integrazione (dipendente da $y$) per $x$.
A meno di errori di calcolo il risultato è qualcosa tipo $4/3\sqrt{2} -2/3 -3/2\sqrt{2}log(2)$
Il nucleo dell'integrale direi che si integra facilmente in $x$, per cui secondo me è meglio spezzare il dominio e integrare prima in $x$ poi in $y$.
Per $y$ separi i casi $\sqrt{1/2} < y <1$ e $1 < y < 2$, e per ciascuno dei due casi non è difficile scrivere l'intervallo di integrazione (dipendente da $y$) per $x$.
A meno di errori di calcolo il risultato è qualcosa tipo $4/3\sqrt{2} -2/3 -3/2\sqrt{2}log(2)$
Se disegni il dominio ti accorgerai che, in coordinate polari, il dominio è il seguente:
[tex]\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]1\leq\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
L'ultima relazione, che mi sembra essere quella che ti crea più problemi, la ottieni facilmente proprio dal disegno. Infatti, è facile accorgersi che dal momento che sei sempre al di fuori o al più sul bordo della circonferenza di cerchio unitario [tex]\rho\geq 1[/tex] ed, inoltre,
[tex]y\leq2\Rightarrow\rho\sin\theta\leq2\Rightarrow\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
Il segno della disequazione non cambia in quanto in quel range angolare il seno è sempre positivo.
[tex]\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]1\leq\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
L'ultima relazione, che mi sembra essere quella che ti crea più problemi, la ottieni facilmente proprio dal disegno. Infatti, è facile accorgersi che dal momento che sei sempre al di fuori o al più sul bordo della circonferenza di cerchio unitario [tex]\rho\geq 1[/tex] ed, inoltre,
[tex]y\leq2\Rightarrow\rho\sin\theta\leq2\Rightarrow\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
Il segno della disequazione non cambia in quanto in quel range angolare il seno è sempre positivo.
"K.Lomax":
Se disegni il dominio ti accorgerai che, in coordinate polari, il dominio è il seguente:
[tex]\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]1\leq\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
L'ultima relazione, che mi sembra essere quella che ti crea più problemi, la ottieni facilmente proprio dal disegno. Infatti, è facile accorgersi che dal momento che sei sempre al di fuori o al più sul bordo della circonferenza di cerchio unitario [tex]\rho\geq 1[/tex] ed, inoltre,
[tex]y\leq2\Rightarrow\rho\sin\theta\leq2\Rightarrow\rho\leq\frac{2}{\sin\theta}[/tex]
Il segno della disequazione non cambia in quanto in quel range angolare il seno è sempre positivo.
Mitico!!! era esattamente quello il passaggio che non riuscivo a fare!!!! il $rho$ è quello che mi da sempre più problemi.... per il $theta$ per ora non ne ho mai avuti...
ti ringrazio infinitamente non sai quanta luce mi hai dato!!
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