Aiuto limiti.

[muvk]

Un disastro ragazzi.
Ho iniziato a svolgere qualche esercizio sui limiti.
Ve ne presento due.

$ lim_(x -> 0) ln ( 2 - cos x) / (sin x )^(2) $

Il cambio di variabile non sembra affatto la strada giusta. Aiutino

$ lim_(x -> + oo) x - sin ^ 2 x * lnx $

Qua la situazione è migliore.
x tende a più infinito, stessa cosa per lnx ma purtroppo quel seno mi dà fastidio e non sò come aggirarlo.
Secondo aiutino (:

Domanda: se ho altri limiti su cui discutere apro un altro topic o continuo a postare qui ? Thanks

[Seneca1]

$ lim_(x -> 0) ln( 1 + (1 - cos x)) / (sin x )^(2) $

E ora devi sfruttare i limiti notevoli.

[muvk]

Riporta (: ma siccome ho perso la lezione centrale sugli o piccoli preferirei farmi controllare i vari passaggi per vedere se ciò che ho fatto va bene , al di fuori del risultato.
Riparto dall'aiuto determinante di Seneca. (:

$ lim_ (x -> 0) (ln ( 1 + ( 1- cosx ))) / (sinx)^(2) $

$ lim_ (x -> 0) (1- cosx + o (1 - cos x)) / (sinx)^(2) $

Semplifico l'o piccolo e pongo nel modo seguente il seno:

$ lim_ (x -> 0) (1- cosx) / ((1 - cos x )*( 1 + cosx )) $

Semplifico sopra e sotto.

$ lim_ (x -> 0) 1 / ((1 + cos x )) = 1 / 2 $

Tutto ciò che ho eseguito è permesso?
Grazie ^^

[Seneca1]

$ lim_ (x -> 0) (ln ( 1 + ( 1- cosx ))) / (sinx)^(2) $

Senza trappolare con gli o-piccolo e gli asintotici:

$ lim_ (x -> 0) ((ln ( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) / ((sinx)/x)^(2) * ((1-cos(x))/(x^2)) $

Noti che $ lim_ (x -> 0) ((ln ( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) / ((sinx)/x)^(2) = 1$

Allora il tuo limite è

$ 1 * lim_ (x -> 0) ((1-cos(x))/(x^2)) $

[shaducci]

Posso intromettermi?Ho anche io dei problemini sui limiti, quindi mi osservo tutte le discussioni. Ho una domandina per Seneca:

Cosa ti ha portato a dire che

il primo fattore della seconda espressione è pari a 1?

[Seneca1]

"Seneca":$ lim_ (x -> 0) (ln ( 1 + ( 1- cosx ))) / (sinx)^(2) $

Senza trappolare con gli o-piccolo e gli asintotici:

$ lim_ (x -> 0) ((ln ( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) / ((sinx)/x)^(2) * ((1-cos(x))/(x^2)) $

Noti che $ lim_ (x -> 0) ((ln ( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) / ((sinx)/x)^(2) = 1$

Allora il tuo limite è

$ 1 * lim_ (x -> 0) ((1-cos(x))/(x^2)) $

Intromettiti pure.

Esiste un'algebra dei limiti (esistono cioè dei teoremi che ti consentono determinate operazioni sui limiti).

Nel nostro caso abbiamo il limite di un prodotto. Lo scrivo passaggio per passaggio:

$ lim_(x -> 0) ((ln ( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) * 1/((sinx)/x)^(2) = lim_(x -> 0) ((ln( 1 + ( 1 - cos(x) )))/(1 - cos(x))) * lim_(x -> 0) 1/((sinx)/x)^(2)$

Osserva che: $lim_(f(x) -> 0) (ln ( 1 + f(x)))/(f(x)) = 1$

Allora $1 * 1/1 = 1$

[shaducci]

Ah okok. La mia difficoltà era molto più semplice ma sei riuscito a sanarla nel migliore dei modi.

sulla mia tavola dei limiti notevoli vedo $f(x)$ come $x$ e non riuscivo a capire che fosse un limite notevole. Quindi la difficoltà dell'esercizio era solamente quella di scomporre l'argomento del logaritmo??

Ti faccio una domanda visto che mi trovo...spero di non dare fastidio.

Per quanto riguarda il limite notevole:

$\lim_{x -> 0}(1-cosx)/x^2=1/2$

C'è una cosa che non capisco. Per cercare di essere più chiaro possibile ti faccio una domanda diretta:

Come si risolve per esempio questo limite usando il limite notevole? ( molto idiota appena inventato )

$\lim_{x -> 0} 1-cos4x$

Non serve applicare nulla, lo so. Ma se volessi applicarlo ugualmente io farei:

$\lim_{x -> 0} (1-cos4x)/(4x^2) 4x^2$

Però è sbagliato. La logica di molti esercizi mi ha portato a pensare che:

$\lim_{x -> 0} (1-cos4x)/(16x^2) 16x^2$

Giusto?Se sì, perchè?

[Seneca1]

"shaducci":Ah okok. La mia difficoltà era molto più semplice ma sei riuscito a sanarla nel migliore dei modi.

sulla mia tavola dei limiti notevoli vedo $f(x)$ come $x$ e non riuscivo a capire che fosse un limite notevole. Quindi la difficoltà dell'esercizio era solamente quella di scomporre l'argomento del logaritmo??

Ti faccio una domanda visto che mi trovo...spero di non dare fastidio.

Per quanto riguarda il limite notevole:

$\lim_{x -> 0}(1-cosx)/x^2=1/2$

C'è una cosa che non capisco. Per cercare di essere più chiaro possibile ti faccio una domanda diretta:

Come si risolve per esempio questo limite usando il limite notevole? ( molto idiota appena inventato )

$\lim_{x -> 0} 1-cos4x$

Non serve applicare nulla, lo so. Ma se volessi applicarlo ugualmente io farei:

$\lim_{x -> 0} (1-cos4x)/(4x^2) 4x^2$

Però è sbagliato. La logica di molti esercizi mi ha portato a pensare che:

$\lim_{x -> 0} (1-cos4x)/(16x^2) 16x^2$

Giusto?Se sì, perchè?

E' lo stesso discorso.


$\lim_{f(x) -> 0} (1-cos(f(x)))/((f^2(x))) f^2(x)$

$f(x) = 4x$

Per $f(x) -> 0$ , $x -> 0$

$\lim_{x -> 0} (1-cos(4x))/(16 x^2) * 16 x^2$

[shaducci]

e se invece io ho

$x->+oo" e come $x$ nel limite ho $1/x$?Posso applicare il limite notevole?

[Seneca1]

"shaducci":e se invece io ho

$x->+oo$ e come $x$ nel limite ho $1/x$?Posso applicare il limite notevole?

Certo. Devi avere una funzione infinitesima.