Aiuto limiti!
Salve a tutti.
Vi riporto qui due limiti che non riesco a risolvere:
1)$ lim_( n -> + oo ) sqrt(n) (e^ (sen(1/(sqrt(n)))) - e^(1 - cos ( 1 /( sqrt(n))))) $
e
2)$ lim_( x -> 0^+ ) frac{sqrt(1+ sqrt ( senx)) - 1 }{sqrt(x^3)} log( 1 + log(1+x)) $
Per il primo viene la forma indeterminata 0 oo e non so come farla andare via, ho provato in molti modi, ma rimane sempre indeterminata.
Nel secondo caso avevo pensato di utilizzare De l'Hopital, ma mi sono solo complicato la vita, e non so cosa utilizzare in sostituzione!
Grazie in anticipo per qualunque aiuto anche minimo!
Vi riporto qui due limiti che non riesco a risolvere:
1)$ lim_( n -> + oo ) sqrt(n) (e^ (sen(1/(sqrt(n)))) - e^(1 - cos ( 1 /( sqrt(n))))) $
e
2)$ lim_( x -> 0^+ ) frac{sqrt(1+ sqrt ( senx)) - 1 }{sqrt(x^3)} log( 1 + log(1+x)) $
Per il primo viene la forma indeterminata 0 oo e non so come farla andare via, ho provato in molti modi, ma rimane sempre indeterminata.
Nel secondo caso avevo pensato di utilizzare De l'Hopital, ma mi sono solo complicato la vita, e non so cosa utilizzare in sostituzione!
Grazie in anticipo per qualunque aiuto anche minimo!
Risposte
Provato con gli sviluppi di Taylor e con il limiti notevoli?
Sù, fai un po' di passaggi.
Sù, fai un po' di passaggi.
Mh sviluppi di Taylor non penso, dato che non ho mai visto risolvere dal professore un esercizio con gli sviluppi di Taylor, e non saprei dove metterci mano, con i limiti notevoli avevo provato nel primo moltiplicando e dividendo l'esponente del numero $e$ con $1/sqrt(n)$ per utilizzare il limite fondamentale, ma facendo i passaggi così facendo mi viene la forma indetermina $+00 - 00 $.
Nel secondo caso avevo pensato di utilizzare il limite notevole $ lim_(x -> 0) log(1 + x)/x$ ma anche utilizzandolo mi rimane forma indeterminata!
Nel secondo caso avevo pensato di utilizzare il limite notevole $ lim_(x -> 0) log(1 + x)/x$ ma anche utilizzandolo mi rimane forma indeterminata!
Mh forse sono riuscito a risolvere il primo limite: il risultato è 1.
Sul secondo non so come fare, niente aiuti?
Sul secondo non so come fare, niente aiuti?
Esatto il primo è [tex]$1$[/tex].
Infatti, chiamando [tex]$x=\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex] (mi perdonerai, ma mi secca portarmi dietro tutte queste radici) e notando che [tex]$n\to +\infty \Rightarrow x\to 0^+$[/tex], il tuo limite coincide con il:
[tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\ (e^{\sin x}- e^{1-\cos x}) = \lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)}\ \frac{\sin x-(1-\cos x)}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} - \frac{1-\cos x}{x}$[/tex]
[tex]$= 1\cdot 1\cdot (1-0)=1$[/tex],
ove ho usato i limiti notevoli dell'esponenziale, del seno e del coseno.
Per il secondo la strada è uguale; dovrai solo usare il limite notevole della radice, del seno e del logaritmo. Prova un po'.
Infatti, chiamando [tex]$x=\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex] (mi perdonerai, ma mi secca portarmi dietro tutte queste radici) e notando che [tex]$n\to +\infty \Rightarrow x\to 0^+$[/tex], il tuo limite coincide con il:
[tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\ (e^{\sin x}- e^{1-\cos x}) = \lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)}\ \frac{\sin x-(1-\cos x)}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} - \frac{1-\cos x}{x}$[/tex]
[tex]$= 1\cdot 1\cdot (1-0)=1$[/tex],
ove ho usato i limiti notevoli dell'esponenziale, del seno e del coseno.
Per il secondo la strada è uguale; dovrai solo usare il limite notevole della radice, del seno e del logaritmo. Prova un po'.
A me sembra mooolto più difficile il primo del secondo, soprattutto perché del secondo mi pareva avessi preso la via giusta
$ lim_( x -> 0^+ ) frac{sqrt(1+ sqrt ( senx)) - 1 }{sqrt(x^3)} log( 1 + log(1+x)) $
Se razionalizzi il numeratore e poi usi i limiti notevoli è fattibile
$ lim_( x -> 0^+ ) frac{sqrt(1+ sqrt ( senx)) - 1 }{sqrt(x^3)} log( 1 + log(1+x)) $
Se razionalizzi il numeratore e poi usi i limiti notevoli è fattibile
Il secondo limite l'ho calcolato e mi viene 1/2.
Non è complicato.
Non è complicato.
"gugo82":
Esatto il primo è [tex]$1$[/tex].
Infatti, chiamando [tex]$x=\frac{1}{\sqrt{n}}$[/tex] (mi perdonerai, ma mi secca portarmi dietro tutte queste radici) e notando che [tex]$n\to +\infty \Rightarrow x\to 0^+$[/tex], il tuo limite coincide con il:
[tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}\ (e^{\sin x}- e^{1-\cos x}) = \lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x}\ \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)}\ \frac{\sin x-(1-\cos x)}{x}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0^+} e^{1-\cos x} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{\sin x-(1-\cos x)} -1}{\sin x-(1-\cos x)} \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} - \frac{1-\cos x}{x}$[/tex]
[tex]$= 1\cdot 1\cdot (1-0)=1$[/tex],
ove ho usato i limiti notevoli dell'esponenziale, del seno e del coseno.
Per il secondo la strada è uguale; dovrai solo usare il limite notevole della radice, del seno e del logaritmo. Prova un po'.
Io l'ho svolto in maniera un po' differente, però sempre con i limiti notevoli dell'esponenziale, del seno e del coseno!
Ok il secondo risulta 1/2: il problema è che avevo paura a razzionalizare per la la radice di radice, però in effetti utillando cento volte i limiti notevoli si ci arriva!XD
Grazie ancora, a tutti!
Salve a tutti sono di nuovo qui, con un limite che mi ha dato non pochi problemi:
$ lim_(x -> 0^+) 1/x - cotanh x $ dove cotan h è la cotangente iperbolica!
Ora in pratica sostituendo a cotan h $ (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x) $ penso che ci si complichi solo la vita, perchè viene una cosa mostruosa che non mi ha portato da nessuna parte.
Quindi avevo pensanto di applicare De L'Hopital ma anche in questo caso continuo ad avere forme indeterminate.
Ho provato con qualche limite notevole tipo tanh/x uguale a 1 ecc, ma niente.
Quindi come mi consigliate di partire? C'è qualche metodo che mi sfugge? Oppure dei metodi che ho utilizzato qual'è il più semplice?
Grazie per l'ascolto!
$ lim_(x -> 0^+) 1/x - cotanh x $ dove cotan h è la cotangente iperbolica!
Ora in pratica sostituendo a cotan h $ (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x) $ penso che ci si complichi solo la vita, perchè viene una cosa mostruosa che non mi ha portato da nessuna parte.
Quindi avevo pensanto di applicare De L'Hopital ma anche in questo caso continuo ad avere forme indeterminate.
Ho provato con qualche limite notevole tipo tanh/x uguale a 1 ecc, ma niente.
Quindi come mi consigliate di partire? C'è qualche metodo che mi sfugge? Oppure dei metodi che ho utilizzato qual'è il più semplice?
Grazie per l'ascolto!
Io direi che la sostituzione va bene, dopodiché proverei con lo sviluppare in serie di Taylor gli esponenziali.
$ 1/x-cothx=1/x-(e^{2x}+1)/(e^{2x}-1)=(e^{2x}-1-xe^{2x}-x)/(xe^{2x}-x) $ .
Applica 2 volte il teorema di De L'Hopital.
Alla fine ottieni che la funzione
$ f(x)=1/x-coth x $
al tendere di x a 0 dalla destra va a 0.
Applica 2 volte il teorema di De L'Hopital.
Alla fine ottieni che la funzione
$ f(x)=1/x-coth x $
al tendere di x a 0 dalla destra va a 0.
Mh avevo già scritto che gli sviluppi in serie di Taylor non li abbiamo mai utilizzati a lezione per risolvere nessun esercizio quindi non saprei come utilizzarli!
Invece sostituendo a $coth x$ il valore $ (e^2x + 1)/(e^2x - 1) $ e utilizzando due volte de l'Hopital mi è risultato effettivamente zero il limite! Quindi grazie ad "affettuoso"!XD
Invece sostituendo a $coth x$ il valore $ (e^2x + 1)/(e^2x - 1) $ e utilizzando due volte de l'Hopital mi è risultato effettivamente zero il limite! Quindi grazie ad "affettuoso"!XD
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