Aiuto limiti

[stellina1314]

Salve, la mia prof di analisi vuole la risoluzione di questo limite, $lim_(x->0)(sqrt(1+x)-1)/x$, senza la razionalizzazione, qualcuno mi può spiegare come si fa?io ho pensato di utilizzare il principio di eliminazione degli infinitesimi, ma non mi esce...

[_Tipper]

È un limite notevole. Qui trovi il risultato e la dimostrazione.

[corel_86]

bisogna applicare il limite notevole $lim_(x->0) ((1+x)^k - 1)/x = k

la radice la scrivi in questo modo $sqrt(f(x))=f(x)^(1/2)$ e ti riconduci al limite notevole

[dissonance]

Visto che siamo in tema, segnalo una dimostrazione alternativa a quella su wikipedia (link di Tipper) del limite notevole
$lim_{x\to0}[(1+x)^theta-1]/x=theta$ per $theta>=0$.

E' molto semplice: sappiamo che la derivata di $(1+x)^theta$ è $theta(1+x)^(theta-1)$, e in particolare la derivata in $0$ di $(1+x)^theta$ fa $theta$. Osserviamo che $lim_{x\to0}[(1+x)^theta-1]/x$ è proprio il limite del rapporto incrementale di $(1+x)^theta$ in 0. Fine.

[stellina1314]

ok...grazie