AIUTO LIMITI

[p4ngm4n]

qualcuno potrebbe aiutarmi con i limiti di questa funzione:
Y=(logx-1)/(logx+1)
mi occorre trovare gli asintoti.(se mi fate vedere tutti i passaggi plz)

[_prime_number]

I punti di accumulazione sono $+\infty, 0$ (dato il dominio del logaritmo) e $e^(-1)$ perchè in quel punto si annulla il denominatore.

Ecco i limiti:

$lim_{x \to + \infty} (lnx -1)/(lnx +1) =$ (usando la regola di De L'Hopital - Bernoulli) $ lim_{x \to + \infty} (1/x)/(1/x) =1$

Ecco un asintoto orizzontale, $y=1$ per $x \to + \infty$.

$lim_{x \to e^(-1)} (lnx -1)/(lnx +1) = lim_{x \to e^(-1)} -2/(lnx +1) = $
$= + \infty$ se x tende a $e^(-1)$ da sinistra
$= - \infty$ se x tende a $e^(-1)$ da destra (è quel -2 a numeratore a determinare il segno)

$lim_{x \to 0^+} (lnx -1)/(lnx +1) =$ (usando De L'Hopital - Bernoulli) $lim_{x \to 0^+} (1/x)/(1/x) =1$

In questo caso però non si tratta di asintoto orizzontale, in x=0 la funzione non è definita, però tende ad assumere il valore f(x)=1.

Spero di essere stata esauriente!

Paola

[_nicola de rosa]

"p4ngm4n":qualcuno potrebbe aiutarmi con i limiti di questa funzione:
Y=(logx-1)/(logx+1)
mi occorre trovare gli asintoti.(se mi fate vedere tutti i passaggi plz)

Dominio :
${(x>0),(logx+1!=0):}$ cioè ${(x>0),(x!=1/e):}$. Per cui il dominio è
$(0,1/e)$ U $(1/e,+infty)$
Innanzitutto tale funzione è prolungabile per continuità in $x=0$
Infatti $lim_(x->0^+)(lnx-1)/(lnx+1)=infty/infty$ ed applicando de l'Hopital trovi $lim_(x->0^+)(lnx-1)/(lnx+1)=1$
Per cui è inutile vedere se $x=0$ è un asintoto verticale.

Vediamo gli altri asintoti:
$lim_(x->(1/e)^+)(lnx-1)/(lnx+1)=-2/(0^+)=-infty$ e $lim_(x->(1/e)^-)(lnx-1)/(lnx+1)=-2/(0^-)=+infty$ per cui
$x=1/e$ è un asintoto verticale
Ora $lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=infty/infty$ ed applicando de l'Hopital trovi $lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1$ per cui
$y=1$ è asintoto orizzontale.
Per quanto riguarda gli asintoti obliqui, non ce ne sono. Infatti, se esistessero, avrebbero equazione $y=mx+q$ con
$m=lim_(x->+infty)1/x*(lnx-1)/(lnx+1)=lim_(x->+infty)1/x*lim_(x->+infty)(lnx-1)/(lnx+1)=1*lim_(x->+infty)1/x$=
$1*0=0$

[Camillo]

Per calcolare il limite per $x rarr +oo$ , raccogli sia a numeratore che denominatore $ log x $ e ottieni : $[logx(1-1/logx)]/[logx(1+1/logx)] $e adesso è facile trovare l'equazione dell'asintoto orizzontale....
Per l'asintoto verticale verifica per quale valore di x il denominatore vale 0 : $x = 1/e $ e quindi...

[Camillo]

Vedo adesso che c'è chi ha già risolto completamente l'esercizio.
Non so quanto questo possa essere utile a p4ngm4n ..

[p4ngm4n]

Grazie a tutti anche per la rapidità!!!