AIUTO!! limite norma p tende norma del sup

[blunotte]

Credo che sia semplice, ma anche qui è un giorno intero che ci rifletto e non si sblocca nulla...
Vi prego ho abbastanza urgenza, domani ho l'orale di metà semestre e so che ha fatto questa domanda... io non so rispondere!!

Siamo nello spazio $l^1 = { (t_n) \in RR \mbox{ tali che } sum_{n = 1}^ oo |t_n| $ lim_{n \rightarrow oo} ||u||_p = ||u||_oo$
con $||u||_p = (sum_{n = 1}^ oo |t_n|^p)^(1/p)$ e $||u||_oo =\mbox{sup}_{n \in NN} |t_n|$.

Chi mi aiuta?!

[Gabriel6]

Siano $s = \sum_{n=1}^\infty |t_n|$ e $t = \mbox{sup}_{n \in NN} |t_n|$. Poiché $s < \infty$, esiste $r \in NN$ tale che $|t_n| < |t_1|$, se $n > r$. Dunque $t = \mbox{sup}_{1 \le n \le r} |t_n| = \mbox{max}_{1 \le n \le r} |t_n|$. Se $t = 0$, la tesi è banale. Viceversa, se $t > 0$, per ogni $p \in $[$1,+\infty$[: $t \le ||u||_p = t \cdot (\sum_{n=1}^\infty |\frac{t_n}{t}|^p)^{\mbox{1/p}} \le t \cdot (1/t \sum_{n=1}^\infty |t_n|)^\mbox{1/p}$, i.e. $t \le ||u||_p \le t^\mbox{(p-1)/p} \cdot s^\mbox{1/p}$. Da qui la tesi, passando al limite ai tre membri per $p \to \infty$. []

[gugo82]

"Gabriel":Siano $s = \sum_{n=1}^\infty |t_n|$ e $t = \mbox{sup}_{n \in NN} |t_n|$. Poiché $s < \infty$, esiste $r \in NN$ tale che $|t_n| < |t_1|$, se $n > r$. Dunque $t = \mbox{sup}_{1 \le n \le r} |t_n| = \mbox{max}_{1 \le n \le r} |t_n|$. Di conseguenza, per ogni $p \in $[$1,+\infty$[: $t \le ||u||_p = t \cdot (\sum_{n=1}^\infty |\frac{t_n}{t}|^p)^{\mbox{1/p}} \le t \cdot (\sum_{n=1}^\infty |t_n|)^\mbox{1/p}$, i.e. $t \le ||u||_p \le t \cdot s^\mbox{1/p}$. Da qui la tesi, passando al limite ai tre membri per $p \to \infty$. []

Giusto per renderla meno sintetica... spero Gabriel non me ne voglia.

Innanzitutto devi provare che $AA p in [1,+oo[$ si ha $l^p subseteq l^1$: fissato $p> 1$ e ricordato che $l^1 subset l^oo$, hai:

$AA n in NN, |t_n|^p = |t_n|*|t_n|^(p-1)le |t_n|*||u||_oo^(p-1) quad => quad ||u||_p^ple ||u||_oo^(p-1)*||u||_1 quad => quad ||u||_p le ||u||_oo^((p-1)/p)*||u||_1^(1/p) <+oo$

onde $u in l^p$; dall'ultimo membro, visto che $lim_(p to +oo)(p-1)/p=1, lim_(pto +oo) 1/p=0$, trai subito $"max"lim_(p to +oo)||u||_ple lim_(p to +oo) ||u||_oo^((p-1)/p)*||u||_1^(1/p)=||u||_oo$.

D'altra parte è $||u||_oo^p=("sup "|t_n|)^p="sup "|t_n|^ple ||u||_p^p$, quindi $||u||_oole "min"lim_(pto +oo)||u||_p$ ed il gioco è fatto.

[blunotte]

Grazie a tutti per le risposte! Però vorrei fare un appunto alla dimostrazione di Gabriel...
Qui dici:
$t * (sum_{i=0}^oo |t_n/t|^p)^(1/p) <= t* (sum_{i=0}^oo |t_n|)^(1/p)$ come fai a giustificare questa disuguaglianza? Perché sicuramente avremo $|t_n/t|^p <=|t_n/t|$ in quanto $|t_n|<=|t|$ ma come fai poi a dire che $|t_n/t|<=|t|$??

[Gabriel6]

Non la giustifico, ho tralasciato un fattore 1/t: provvedo subito a editare, le conclusioni restano invariate.