Aiuto limite fastidioso :(

[BoG3]

Ciao a tutti, mi trovo un po' in difficolta' con un limite che sto cercando di risolvere e vi vorei chiedere consiglio:

$lim_{x \to 0} (1+sin(x^2-x)-\e^-x)/(x*log(1-3x))$

Guardandolo ho pensato: beh ... non mi cadono all'occhio i limiti notevoli banalmente...
ma se io riordino tutto così:

$lim_{x \to 0} (-\e^-x +1 + sin(x^2-x))/(x*log(1-3x))*(-1)/(-1)$

$lim_{x \to 0} (\e^-x -1 - sin(x^2-x))/(-x*log(1-3x)) * (x^2-x)/(x^2-x)$

$lim_{x \to 0} (\e^-x -1-sin(x^2-x))/(-x*(x^2-x))*(x^2-x)/(log(1-3x))$

$lim_{x \to 0} [(\e^-x -1)/(-x*(x^2-x))-sin(x^2-x)/(-x*(x^2-x))]*(x^2-x)/(log(1-3x))$

$lim_{x \to 0} [(\e^-x -1)/-x*1/(x^2-x)+sin(x^2-x)/(x^2-x)*1/x] *(x^2-x)/(log(1+(-3x)))$

$lim_{x \to 0} [(\e^-x -1)/-x*1/(x^2-x)+sin(x^2-x)/(x^2-x)*1/x] *(x^2-x)/(log(1+(-3x)))*(-3x)/(-3x)$

$lim_{x \to 0} [(\e^-x -1)/-x*1/(x^2-x)+sin(x^2-x)/(x^2-x)*1/x] *(-3x)/(log(1+(-3x)))*(x^2-x)/(-3x)$

Ora mi tiro fuori i limiti notevoli:

$lim_{x \to 0} (\e^-x -1)/-x*1/(x^2-x) = 1*\infty$

$lim_{x \to 0} sin(x^2-x)/(x^2-x)*1/x = 1*\infty$

$lim_{x \to 0} (-3x)/(log(1+(-3x)))*(x^2-x)/(-3x) = lim_{x \to 0} (-3x)/(log(1+(-3x)))*(x(x-1))/(-3x) = lim_{x \to 0} (-3x)/(log(1+(-3x)))*(x-1)/(-3) = $ $1* (- (1/3)) = -1/3$

Quindi: $(1*\infty + 1*\infty) *(-1/3)= -\infty$

tuttavvia plottando il grafico ottengo questo:


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e non riesco a trovare l'errore...

[Seneca1]

$lim_{x \to 0} (1+sin(x^2-x)-\e^-x)/(x*log(1-3x))$

$x * log( 1 - 3x ) sim - 3x^2$ per $x -> 0$.

Usando De L'Hospital:

$lim_{x \to 0} ((2x - 1)*cos(x^2-x)+\e^(-x))/(-6 x)$

e ancora:

$lim_{x \to 0} (- (2x - 1)(2x - 1)*sin(x^2-x) + 2* cos(x^2-x) - \e^(-x))/(-6) = - 1/6$

EDIT: Ho corretto qualche svista.

[Seneca1]

Probabilmente hai sbagliato di plottare il grafico della funzione... Mi sembra che tu dovessi scrivere:

exp(-x)

e non:

exp(x)**-x

.

[BoG3]

Seneca: hai ragione... $exp(-x)$ da un qualcosa di molto piu' credibile, coincide con cio' che hai calcolato.
ma de l'hospital mi è stato presentato come... l'ultima spiaggia... dato che la probabilita' di fare errori derivando è piu' alta che farli usando "metodi piu' terra-terra" quindi non mi sono adentrato in questo... era l'unoco modo di risolverlo?

[Seneca1]

Non era l'unico... Si poteva svolgere anche con Taylor, volendo.

A me è sembrata la strada meno "impestata" di conti, considerando come ho scritto il denominatore utilizzando gli sviluppi asintotici.

[BoG3]

e tutto questo lo hai capito con ... l'esperienza ? o c'era un altro modo di capire che una strada (come quella di tirare fuori i limiti notevoli) è inutile? quindi.. la ricetta è: Esercixi, Esercizi, Esercixi, Esercizi.... ?

[Seneca1]

"BoG":e tutto questo lo hai capito con ... l'esperienza ? o c'era un altro modo di capire che una strada (come quella di tirare fuori i limiti notevoli) è inutile? quindi.. la ricetta è: Esercixi, Esercizi, Esercixi, Esercizi.... ?

Non è detto che sia inutile (che poi, tra l'altro, al denominatore ho usato proprio un limite notevole per semplificare i conti)... Ad occhio ho visto che, siccome al denominatore c'è $-3x^2$, derivando due volte si ottiene $- 6$; d'altra parte, a numeratore, derivando non viene fuori nulla di così orrido e derivando una seconda volta si ha da fare una derivata di un prodotto: nulla di tragico.

[BoG3]

grazie delle spiegazioni