Aiuto limite due variabili!
Mi aiutereste a dimostrare che il limite che riporto qualche rigo più giù è uguale a zero?
$ lim_((h,k)->(0,0)) ( arctg(h-k)/((h-k)*(h+k+2))- 1/2 +1/4*(h+k))/(sqrt(h^2+k^2))
io ho provato a maggiorar l'espressione in valore assoluto, tenendo conto che arctgx su x mi va a 1 quando l'argomento va a zero ,quindi sostituendo 1 ed utilizzando la disuguaglianza triangolare, ma non son sicura di aver fatto una cosa utile..Per favore mi dareste una mano?
$ lim_((h,k)->(0,0)) ( arctg(h-k)/((h-k)*(h+k+2))- 1/2 +1/4*(h+k))/(sqrt(h^2+k^2))
io ho provato a maggiorar l'espressione in valore assoluto, tenendo conto che arctgx su x mi va a 1 quando l'argomento va a zero ,quindi sostituendo 1 ed utilizzando la disuguaglianza triangolare, ma non son sicura di aver fatto una cosa utile..Per favore mi dareste una mano?

Risposte
scusatemi!! la radice più esterna è di troppo!!!
Sviluppa l'arcotangente fermandoti al secondo termine.
PS: $atan0 = 0$
PS: $atan0 = 0$
in realtà l'ho fatto... mi vien fuori il limite di
$( ((h-k)+(1/3)*((h-k)^3))/((h-k)*(h+k+2)) +(1/4)*(h+k) -(1/2) )$ il tutto fratto la suddetta radice
dopo di che ho semplificato h-k nel primo pezzettino e fatto il minimo comune multiplo..ma a questo punto mi areno...
$( ((h-k)+(1/3)*((h-k)^3))/((h-k)*(h+k+2)) +(1/4)*(h+k) -(1/2) )$ il tutto fratto la suddetta radice
dopo di che ho semplificato h-k nel primo pezzettino e fatto il minimo comune multiplo..ma a questo punto mi areno...
Perchè? Viene:
$\frac{ \frac{1}{h+k+2} - 1/2 + 1/4(h+k) - (h-k)^2/(3(h+k+2)) }{ \sqrt{ h^2 + k^2 } } \approx - \frac{ (h-k)^2 }{ 6 \sqrt{ h^2 + k^2 } }$
$\frac{ \frac{1}{h+k+2} - 1/2 + 1/4(h+k) - (h-k)^2/(3(h+k+2)) }{ \sqrt{ h^2 + k^2 } } \approx - \frac{ (h-k)^2 }{ 6 \sqrt{ h^2 + k^2 } }$
perdonami ma non capisco l'approssimazione !! non hai fatto il minimo comune multiplo, giusto? pero il termine $(h+k+2) $ che fine fa? scusami ma mi sono un pò persa!!!
..poi una volta giunti a quell'approssimazione come procedo? io direi che essendo il numeratore un infinitesimo del secondo ordine "contro" un denominatore del primo la frazione mi va a zero...ma non so se è giusto
grazie tantissimo per la disponibilità


Tranquilla! Osserva che:
$lim_{ (h,k) -> (0,0) } 1/(h+k+2) = 1/2$
e che:
$lim_{ (h,k) -> (0,0) } 1/4(h+k) = 0$
Questi termini non contribuiscono di fatto all'andamento del limite e dunque li potresti valutare separatamente ( anche se a rigore non sarebbe consentito ).
Per il resto si, il numeratore tende a 0 più rapidamente del denominatore, dunque quel limite fa 0.
$lim_{ (h,k) -> (0,0) } 1/(h+k+2) = 1/2$
e che:
$lim_{ (h,k) -> (0,0) } 1/4(h+k) = 0$
Questi termini non contribuiscono di fatto all'andamento del limite e dunque li potresti valutare separatamente ( anche se a rigore non sarebbe consentito ).
Per il resto si, il numeratore tende a 0 più rapidamente del denominatore, dunque quel limite fa 0.
ho capito finalmente!!!ti ringrazio tantissimissimissimissimoooo!!!!!!