Aiuto limite con esponenziali

[Giuseppe.98925]

Scusate ma non so come risolvere questo limite mi sta dando filo da torcere
lim x→0 (3*2^(x)-2*3^(x))^(1/x)
È della forma 1^∞ pertanto ho provato a riscrivere il tutto
lim x→0 e^(1/x)(ln (3*2^x-2*3^x) poi ho raccolto 3*2^x ma dopo una serie di passaggi mi sono bloccato. Potreste aiutarmi a capire come si fa?

[kobeilprofeta]

$lim_{x to 0} (3*2^x-2*3^x)^(1/x)$

[Giuseppe.98925]

Il limite è questo si

[kobeilprofeta]

boh prova a raccogliere 6 quando ce l'hai all'esponenete

[Gio23121]

Dunque sei passato a
$ e^(log(3*2^x-2*3^x)/x)$

Applicando De l'hopital hai $e^(((2^x)log(8)-(3^x)log(9))/(3*2^x-2*3^x))$
quindi lim $ lim_(x -> 0) e^(((2^x)log(8)-(3^x)log(9))/(3*2^x-2*3^x))$ = $e^(log(8)-log(9))$ = $8/9$

Non so se c'è un metodo alternativo,se c'è non l'ho trovato

[kobeilprofeta]

hai $e^{lim}$
$lim frac{log(3*2^x-2*3^x)}{x}=lim frac{frac{3*log 2*2^x-2*log 3*3^x}{3*2^x-2*3^x}}{1}=lim frac{3*log 2*2^x-2*log 3*3^x}{3*2^x-2*3^x}=frac{3*log 2-2*log 3}{3-2}=log 8-log 9=log(8/9)$
and
$e^{log(8/9)}=8/9$


EDIT: ok, mi sono accorto che era già stato fatto così dall'utente prima di me

[francicko]

$lim_(x->0)log(3*2^x-2*3^x)^(1/x) $ $=lim(1/x)*log(3*2^x-2*3^x) $ $=lim (1/x)*log(2^x+2*2^x-2*3^x) $ $=lim(1/x)*log(e^(xlog2)+2e^(xlog2)-2e^(xlog3))$
$=lim(1/x)*log(1+xlog2+2+2xlog2-2-2xlog3)$

$=lim (1/x)*log (1+3xlog2-2xlog3) $ $=lim(1/x)*log(1+x (log 2^3-log3^2)) $ $=lim(1/x)*log (1+x (log8-log9)) $
$=lim (1/x)*log (1+xlog (8/9))=lim(xlog (8/9))/x=log (8/9)$
pertanto:
$lime^((1/x)*log (3*2^x-2*3^x))=e^(log (8/9)=8/9$
Avendo fatto uso solo degli asintotici: $e^(f(x))~(1+f(x))$ ed anche di $log (1+f(x))~f(x) $.