Aiuto limite

[dotmanu]

Ho problemi a risolvere questa forma $oo-oo$

$lim_(x->oo)(log(4x^2/(2x+1))-2x)$

[Seneca1]

Non è difficile. Puoi trascurare l'infinito di ordine inferiore, che è...

[*v.tondi]

Prova così:
$lim_(x->oo)(log(4x^2/(2x+1))-2x)$
$lim_(x->oo)(log4+logx^2-log(2x+1)-2x)$
$lim_(x->oo)(x(log4/x+2logx/x-log(2x+1)/x-2x/x))$. Continua te. Facci sapere.
Ciao.

[dotmanu]

ok.. dovrebbe venire $-oo$.
Grazie a tutti e due.. siete stati fantastici...

[*v.tondi]

Grazie di che, basta che è chiara la risoluzione e tutti i passaggi.
Ciao.

[dotmanu]

Grazie di che? Mi avete dedicato parte del vostro tempo, per di più a gratis e senza neanche conoscermi... nulla è dovuto a questo mondo, e quando ci si trova davanti a qualcuno di gentile e disponibile come voi, un grazie mi sembra veramente il minimo che possa fare!

[isolamaio]

e perche dovrebbe essere $-oo$ ?

[Seneca1]

"isolamaio":e perche dovrebbe essere $-oo$ ?

A chi è rivolta la domanda?

[isolamaio]

a chiunque abbia voglia di rispondere

[indovina]

"isolamaio":e perche dovrebbe essere $-00$ ?

Non so se posso rispondere io, ma mi piacerebbe mettermi in gioco.

per $x->+oo$ $(log4)/(x)sim0$

$(log(x^2))/x$ $sim0$

$(log(2x+1))/x$ $sim0$

quindi rimane: il $lim$ per $x->+oo$ $-2x=-oo$


spero che sia così, se ho sbagliato me ne scuso

[Seneca1]

Sì, dovrebbe essere corretto.

Però si vede subito che l'argomento del logaritmo va ad infinito come $x$. Quindi hai una differenza di infiniti: $log(x)$, infinito di ordine sottoreale (se non sbaglio si chiama così) e $2x$, infinito di ordine reale. Essendo il logaritmo un infinito d'ordine inferiore, lo puoi bellamente trascurare. Quindi:

$lim_(x -> oo) log( 4(x^2)/(2x + 1) ) - 2x = lim_(x -> oo) - 2x = - oo$

Non è più facile? Si evitano sostituzioni asintotiche, le quali spesso sono fatte con troppa superficialità...

[gugo82]

"dotmanu":Ho problemi a risolvere questa forma $oo-oo$

$lim_(x->oo)(log(4x^2/(2x+1))-2x)$

Posto una soluzione formalmente corretta (che poi è quella cui è arrivato anche clever: bravo, fai progressi! ); ovviamente applico in tutto il loro splendore le proprietà dei logaritmi:

[tex]$\lim_{x\to +\infty} \ln \left( \frac{4x^2}{2x+1}\right) -2x =\lim_{x\to +\infty} x\ \Big( -2 +\frac{\ln 4 x^2}{x} -\frac{\ln (2x+1)}{x}\Big)$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to +\infty} x \left( -2 +\frac{\ln 4 +2\ln x}{x} - \frac{\ln x +\ln (2+\frac{1}{x})}{x}\right)$[/tex]
[tex]$=-\infty$[/tex].

[isolamaio]

si ma l'ultimo non era $(-2(x/x))$ e $(x/x)$ non è a sua volta una forma indeterminata?

adessoci sono arrivata anch'io
scusate la domanda stupidina

[gugo82]

Di nuovo... Sempre la stessa obiezione.

La risposta, come al solito, non cambia: No, [tex]$\frac{x}{x}$[/tex] non è forma indeterminata perchè la funzione [tex]$\frac{x}{x}$[/tex] coincide intorno a [tex]$+\infty$[/tex] con l'applicazione costante [tex]$1$[/tex] che è determinatissima. Lo stesso discorso vale per [tex]$x^0$[/tex], ad esempio.

[*v.tondi]

Scusa Gugo82, ma quello che te hai fatto è giustissimo, applicando le proprietà dei logaritmi. Forse prima di clever, c'è stato un certo v.tondi a risolvere lo stesso limite svolgendo tutti i passaggi. Grazie.
Ciao.

[dotmanu]

beh, il termine con il logaritmo è di ordine inferiore rispetto $-2x$, per cui è trascurabile per $xto+\infty$.
Dunque il limite resta:

$\lim_{xto+\infty}-2x=-infty$