Aiuto Limite
Ragazzi, ho qualche problema con questo limituccio... gira e rigira mi trovo sempre $+\infty$ come soluzione... eppure nelle soluz mi dice 12...
$lim_(x->0^+)(e^(2x*sin(3x)) - 1)/(1 - cos x)$
L'esponente di $e$ tende a 2/3, poichè siccome
Quando $ x->0$
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ ponendo $t = 3x , t->0$ se $x->0$ ottengo $sin(t)=t/3 \rArr 2 sin(t) = 2/3 t \rArr 2 t* sin(t) =2/3 , t ->0$
quindi si riduce a $(e^(2/3) - 1)/(1 - cos x)$
Moltiplico e divido per $x^2$
$lim_(x->0^+)(x^2)/(1-cosx) *(e^(2/3) - 1)/(x^2)$
Sapendo che $e^(2/3) - 1$ fa una quantità finita $\delta > 0$ ovvero $|\delta|$
$lim_(x->0^+)(2 + o(1)) * (|\delta|)/(x^2) = +\infty$
Dove ho sbagliato??
$lim_(x->0^+)(e^(2x*sin(3x)) - 1)/(1 - cos x)$
L'esponente di $e$ tende a 2/3, poichè siccome
Quando $ x->0$
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ ponendo $t = 3x , t->0$ se $x->0$ ottengo $sin(t)=t/3 \rArr 2 sin(t) = 2/3 t \rArr 2 t* sin(t) =2/3 , t ->0$
quindi si riduce a $(e^(2/3) - 1)/(1 - cos x)$
Moltiplico e divido per $x^2$
$lim_(x->0^+)(x^2)/(1-cosx) *(e^(2/3) - 1)/(x^2)$
Sapendo che $e^(2/3) - 1$ fa una quantità finita $\delta > 0$ ovvero $|\delta|$
$lim_(x->0^+)(2 + o(1)) * (|\delta|)/(x^2) = +\infty$
Dove ho sbagliato??
Risposte
"enpires":
Ragazzi, ho qualche problema con questo limituccio... gira e rigira mi trovo sempre $+\infty$ come soluzione... eppure nelle soluz mi dice 12...
$lim_(x->0^+)(e^(2x*sin(3x)) - 1)/(1 - cos x)$
L'esponente di $e$ tende a 2/3, poichè siccome
Quando $ x->0$
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ ponendo $t = 3x , t->0$ se $x->0$ ottengo $sin(t)=t/3 \rArr 2 sin(t) = 2/3 t \rArr 2 t* sin(t) =2/3 , t ->0$
quindi si riduce a $(e^(2/3) - 1)/(1 - cos x)$
Moltiplico e divido per $x^2$
$lim_(x->0^+)(x^2)/(1-cosx) *(e^(2/3) - 1)/(x^2)$
Sapendo che $e^(2/3) - 1$ fa una quantità finita $\delta > 0$ ovvero $|\delta|$
$lim_(x->0^+)(2 + o(1)) * (|\delta|)/(x^2) = +\infty$
Dove ho sbagliato??
Formalmente (e in matematica questo e' non e' un optional) hai sbagliato in quasi tutti i segni di eguale !!
Per esempio $\sin(x)/x=1$ ??? $sin(t)=t/3$ ?? etc.
Si', so cosa stai per dirmi, le eguaglianze sono "approssimativamente vere" per $x\to0$ ma "approssimativamente" non e' definito (o se lo e' spiegami qual e' la sua definizione)
L'unico punto corretto e' $sin(x)=x(1+o(1))$ (che peraltro non basta per fare il limite) - se tu avessi continuato a scrivere delle eguaglianze corrette, portandoti dietro gli o piccoli,
avresti individuato il punto della questione.
Se vuoi fare questo limite mediante le formule di Taylor devi usare
1) $\sin(y)=y-y^3/6+o(y^3)$
2) $e^y=1+y+y^2/2+o(y^2)$
3 $\cos(y)=1-y^2/2+o(y^2)$
Prova a usare queste informazioni nell'espressione del limite e NON togliere gli infinitesimi fino alla fine . Altrimenti puoi ricorrere a de l'Hospital
Se non ne vieni a capo ripassa per di qua ...
"enpires":
Dove ho sbagliato??
"enpires":
$lim_(x->0^+)(e^(2x*sin(3x)) - 1)/(1 - cos x)$
L'esponente di $e$ tende a 2/3, poichè siccome
Quando $ x->0$
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ ponendo $t = 3x , t->0$ se $x->0$ ottengo $sin(t)=t/3 \rArr 2 sin(t) = 2/3 t \rArr 2 t* sin(t) =2/3 , t ->0$
quindi si riduce a $(e^(2/3) - 1)/(1 - cos x)$
$lim_(x->0^+)e^(2xsin(3x))=lim_(x->0)e^(2xsin3x)=lim_(x->0)e^(6x^2((sin3x)/(3x)))=lim_(x->0)e^(6x^2)$.
Poi riguardo il resto moltiplichi e dividi per $6x^2$ e ti riconduci facilmente a limiti notevoli.
Ma se conosci Taylor ti consiglio di applicarli (come suggerito da Vicious) subito così che diventa tutto più facile.
Ma riscrivendola con tutti gli infinitesimi non vedo cambi molto (vabbè che magari mi devo ripassare l'algebra degli infinitesimi)
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ e fin qui ci siamo...
Adesso posso porre $t = 3x , t->0$ se $x->0$ giusto? Ottenendo (con gli infinitesimi)$sin(t)=t/3 *(1+o(1))$
Beh alla fine riscriverei la stessa cosa mettendoci $(1+o(1))$ davanti... non cambierebbe molto... come risultato mi trovo sempre
$2 t* sin(t) =2/3 + o(1) , t ->0$
Un errore però lo trovo, perchè se mi riporto tutta la scrittura con gli infinitesimi ottengo
$(e^(2/3 + o(1)) - 1)/(1-cosx)
Numeratore $e^(2/3) + e^0 -1 = e^2/3 + 1 + o(1) - 1 = e^2/3 + o(1)$... ma il risultato resta lo stesso
p.s. sei di pisa?? io sto ad ing al primo anno
$sinx/x = 1 \rArr sinx = x(1 + o(1)) $ e fin qui ci siamo...
Adesso posso porre $t = 3x , t->0$ se $x->0$ giusto? Ottenendo (con gli infinitesimi)$sin(t)=t/3 *(1+o(1))$
Beh alla fine riscriverei la stessa cosa mettendoci $(1+o(1))$ davanti... non cambierebbe molto... come risultato mi trovo sempre
$2 t* sin(t) =2/3 + o(1) , t ->0$
Un errore però lo trovo, perchè se mi riporto tutta la scrittura con gli infinitesimi ottengo
$(e^(2/3 + o(1)) - 1)/(1-cosx)
Numeratore $e^(2/3) + e^0 -1 = e^2/3 + 1 + o(1) - 1 = e^2/3 + o(1)$... ma il risultato resta lo stesso
p.s. sei di pisa?? io sto ad ing al primo anno
Feliciano ho visto ora la tua risp, ora provo ad applicarla... con Taylor ancora sono in alto mare purtroppo
Ho appena applicato de l'Hospital. Si azzera tutto e arrivi alla forma $lim_(x->0^+)$ $(6cos(3x)+6cos(3x))/(cos(x))$ che fa 12. ciao
"enpires":
Feliciano ho visto ora la tua risp, ora provo ad applicarla... con Taylor ancora sono in alto mare purtroppo
se moltiplichi e dividi per $2x(sen(3x)$
quello al denominatore se ne va come limite notevole al numeratore lo scrivi come $6x^2-(9/6)x^3$
a me viene 12 il risultato
ho capito... volevo provare a farla senza de l'Hopital siccome stavo svolgendo la dispensa e la fa prima delle derivate quindi tentavo di farla così... grazie cmq a tutti per l'aiuto alla prossima 
alla prossima
Il risultato è 12. Però riguardo gli ultimi 2 messaggi:
applicando L'Hopital le derivatevengono diverse da quelle postate e pur "azzerando" quello che c'è da "azzerare" non riesco a portarmi alla forma postata. In particolare non mi spiego il coseno al denominatore dato che la derivata di $1-cosx$ dovrebbe essere $sinx$
moltiplicando tutto per la quantità scritta otterremmo limite di $(2xsin(3x))/(1-cosx)$, come arrivi alla quantità postata?
applicando L'Hopital le derivatevengono diverse da quelle postate e pur "azzerando" quello che c'è da "azzerare" non riesco a portarmi alla forma postata. In particolare non mi spiego il coseno al denominatore dato che la derivata di $1-cosx$ dovrebbe essere $sinx$
moltiplicando tutto per la quantità scritta otterremmo limite di $(2xsin(3x))/(1-cosx)$, come arrivi alla quantità postata?
"Feliciano":
Il risultato è 12. Però riguardo gli ultimi 2 messaggi:
applicando L'Hopital le derivatevengono diverse da quelle postate e pur "azzerando" quello che c'è da "azzerare" non riesco a portarmi alla forma postata. In particolare non mi spiego il coseno al denominatore dato che la derivata di $1-cosx$ dovrebbe essere $sinx$
moltiplicando tutto per la quantità scritta otterremmo limite di $(2xsin(3x))/(1-cosx)$, come arrivi alla quantità postata?
6x2-(9/6)x4
è 2x * lo sviluppo di taylor si sen(3x) ovvero $(3x+o(x^2))$
"Feliciano":
Il risultato è 12. Però riguardo gli ultimi 2 messaggi:
applicando L'Hopital le derivatevengono diverse da quelle postate e pur "azzerando" quello che c'è da "azzerare" non riesco a portarmi alla forma postata. In particolare non mi spiego il coseno al denominatore dato che la derivata di $1-cosx$ dovrebbe essere $sinx$
moltiplicando tutto per la quantità scritta otterremmo limite di $(2xsin(3x))/(1-cosx)$, come arrivi alla quantità postata?
Applichi de l'Hospital 2 volte
. I calcoli diventano complessi, ma a me piace così.
Allora
$sin(y)=y+o(y)$ da cui $\sin (3x)=3x+o(3x)=3x+o(x^3) = (\star)$ (nel post precedente mi sembrava servisse anche il termine successivo, ma ero stato pessimista)
Moltiplicando per $2x$
$(\star)=6x^2+2xo(x)=6x+o(x^2)$
metto l'ultima quantita' nell'esponenziale ( e uso $e^y=1+y+o(y)$):
$e^{2x\sin(3x)}=e^{6x^2+o(x^2)}=1+6x^2+o(x^2)+o(6x^2+o(x^2))=1+6x^2+o(x^2)$
da cui $e^{2x\sin(3x)}-1=6x^2+o(x^2)$
Passando al denominatore
$1-cos(x)=1-(1-x^2/2+o(x^2))=x^2/2+o(x^2)$
In definitiva
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x\sin(3x)}-1}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{6x^2+o(x^2)}{x^2/2+o(x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{6x^2}{x^2/2}=\frac{6}{1/2}=12$
$sin(y)=y+o(y)$ da cui $\sin (3x)=3x+o(3x)=3x+o(x^3) = (\star)$ (nel post precedente mi sembrava servisse anche il termine successivo, ma ero stato pessimista)
Moltiplicando per $2x$
$(\star)=6x^2+2xo(x)=6x+o(x^2)$
metto l'ultima quantita' nell'esponenziale ( e uso $e^y=1+y+o(y)$):
$e^{2x\sin(3x)}=e^{6x^2+o(x^2)}=1+6x^2+o(x^2)+o(6x^2+o(x^2))=1+6x^2+o(x^2)$
da cui $e^{2x\sin(3x)}-1=6x^2+o(x^2)$
Passando al denominatore
$1-cos(x)=1-(1-x^2/2+o(x^2))=x^2/2+o(x^2)$
In definitiva
$\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x\sin(3x)}-1}{1-\cos(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{6x^2+o(x^2)}{x^2/2+o(x^2)}=\lim_{x\to 0}\frac{6x^2}{x^2/2}=\frac{6}{1/2}=12$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo