Aiuto limite

[Gianni Trattore]

Salve, ho un altro problema con i limiti.
Stavo facendo delle simulazioni d'esame e mi sono imbattuto in un limite che non so risolvere:

$ lim_(x -> 0) (1+x/((x-1)^2))^(1/(sqrt(1+x)-1)) $

Dato che e' un quiz a risposta multipla mi sono limitato a risolvere l'esponente con il limite notevole adatto:

$1/(sqrt(1+x)-1) ~ 1/(1/2x) = 2/x $

Posso quindi riscrivere il limite nella forma

$ lim_(x -> 0) ((1+x/((x-1)^2))^(1/x))^2 $

e quindi ho sperato che si potesse riscrivere il limite nella forma $(1+f(x))^(1/f(x))$ cosi da avere $e^2$ che e' effettivamente la risposta giusta.
Pero' non ho la piu' pallida idea di come fare a ricondurmi al limite notevole.
(se sono possibili altre risoluzioni con metodi diversi tanto meglio)

[solaàl]

\(\lim (1+f)^g = \lim e^{\ln (1+f)^g} = \lim e^{g \ln (1+f)} = e^{\lim g\ln (1+f)}\)

Quindi basta calcolare \(\lim g\ln(1+f)\): ora, \(g : x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}-1}\approx_0 \frac{2}{x}\) e \(f : x\mapsto \frac{x}{(x-1)^2}\approx_0 \dots \)

[pilloeffe]

Ciao Gianni Trattore,

Senza gli asintotici, prima avrei razionalizzato l'esponente e poi risolto nel modo seguente:

$ \lim_{x \to 0} [1+x/((x-1)^2)]^(1/(sqrt(1+x)-1)) = \lim_{x \to 0} [1+1/(((x-1)^2)/x)]^((sqrt(1+x)+1)/x) = $
$ = \lim_{x \to 0} {[1+1/(((x-1)^2)/x)]^{((x-1)^2)/x}}^{x/(x - 1)^2 \cdot (sqrt(1+x)+1)/x} = \lim_{x \to 0} {[1+1/(((x-1)^2)/x)]^{((x-1)^2)/x}}^{(sqrt(1+x)+1)/(x - 1)^2} = e^2 $

[Gianni Trattore]

Ok era più facile di quanto mi sembrasse. Grazie mille a entrambi.

[Fioravante Patrone1]

Se una persona normale si trova davanti i post di solaàl e Pilloeffe, con la risposta di Gianni Trattore, sviene

[solaàl]

Ossia?