Aiuto limite!
Ho un problema con questo limite. $ lim x->0^+ (x*logx) $ Il risultato è 0 ma non capisco il perchè in quanto avrei un numero infinitamente piccolo e positivo $ x $ per un numero infinitamente grande e negativo $logx$ quindi avrei la forma indeterminata $ 0*oo $
Risposte
D'accordo, è una forma indeterminata $0^+ * (-oo)$, perciò per risolverlo devi togliere l'indeterminazione, potresti usare l'Hospital, dopo aver scritto il limite nella forma $lim_(x->0^+) x*logx = lim_(x->0^+) logx/(1/x)$
è possibile risolverlo senza l'hospital in quanto non l'ho ancora fatto?
Con il confronto tra infiniti. Comunque a volte lo trovi anche tra i limiti notevoli.
x@melia. Se si pone $t=logx$, pertanto $x$ si può scrivere nella forma $e^t$, il limite diventa $lim_(t->-infty)t(e^t)$ e
sostituendo $t$ con $-t$, si ha $lim_(t->infty) ((-t)(e^(-t)))$ $=lim_(t->infty)(-t/(e^t))$, ora bisogna far vedere in modo elementare che $e^t$ è un infinito di ordine di grandezza superiore ad $-t$, e che quindi il limite tende a $0$,come si può fare?
Una altra possibile dimostrazione , non so se giusta, potrebbe essere la seguente:
$lim_(x->0^+)(xlogx)=lim_(x->o^+)log(x^x)=lim_(n->infty)log(1/n)^(1/n)$ $=lim_(n->infty)log(1/(rootn(n)))$, ora sappiamo, e questo lo si può vedere con metodi elementari che $lim_(n->infty)(rootn(n))=1$ e da qui concludiamo che il valore del limite iniziale è $log1=0$.
In un altro post mi è stato detto che esistono numerose dimostrazioni date in maniera elementare di questo limite, ma onestamente oltre le considerazioni fatte sopra, non riesco ad immagginarne altre, al di fuori di quella che fa uso di Hopital, comunque se qualcuno ne conosce e le posta, sarei molto interessato a leggerle.
Saluti!
sostituendo $t$ con $-t$, si ha $lim_(t->infty) ((-t)(e^(-t)))$ $=lim_(t->infty)(-t/(e^t))$, ora bisogna far vedere in modo elementare che $e^t$ è un infinito di ordine di grandezza superiore ad $-t$, e che quindi il limite tende a $0$,come si può fare?
Una altra possibile dimostrazione , non so se giusta, potrebbe essere la seguente:
$lim_(x->0^+)(xlogx)=lim_(x->o^+)log(x^x)=lim_(n->infty)log(1/n)^(1/n)$ $=lim_(n->infty)log(1/(rootn(n)))$, ora sappiamo, e questo lo si può vedere con metodi elementari che $lim_(n->infty)(rootn(n))=1$ e da qui concludiamo che il valore del limite iniziale è $log1=0$.
In un altro post mi è stato detto che esistono numerose dimostrazioni date in maniera elementare di questo limite, ma onestamente oltre le considerazioni fatte sopra, non riesco ad immagginarne altre, al di fuori di quella che fa uso di Hopital, comunque se qualcuno ne conosce e le posta, sarei molto interessato a leggerle.
Saluti!
Io lo farei semplicemente così
$ lim_(x -> 0+) xlogx=logx/(1/x) $
Confronto fra due infiniti: $ 1/x $ arriva prima all'infinito dunque il risultato è 0
$ lim_(x -> 0+) xlogx=logx/(1/x) $
Confronto fra due infiniti: $ 1/x $ arriva prima all'infinito dunque il risultato è 0
Da dove arriva questa deduzione? come hai fatto a confrontare i due infiniti?
Cerco di spiegarti il concetto facilmente. logx e $ 1/x $ sono due infiniti in quanto quando x tende a 0 il loro limite è + $ oo $ . Mi ritrovo una situazione di questo tipo dunque $ oo /oo $ che posso risolvere tramite questo ragionamento.
Se osservi il grafico noti facilmente che $ 1/x $ arriva a + $ oo $ più velocemente rispetto a logx. Quindi quando logx sarà ancora un numero $ 1/x $ sarà infinito. Spero di essere stato abbastanza chiaro. In ogni caso l'argomento è molto più complesso e sicuramente lo affronterai nei prossimi mesi in modo approfondito
Se osservi il grafico noti facilmente che $ 1/x $ arriva a + $ oo $ più velocemente rispetto a logx. Quindi quando logx sarà ancora un numero $ 1/x $ sarà infinito. Spero di essere stato abbastanza chiaro. In ogni caso l'argomento è molto più complesso e sicuramente lo affronterai nei prossimi mesi in modo approfondito
ok, grazie mille!
La deduzione dall'andamento del grafico , comunque non può essere presa come una dimostrazione.
Saluti!
Saluti!
"francicko":
La deduzione dall'andamento del grafico , comunque non può essere presa come una dimostrazione.
Saluti!
E come posso dimostrarlo allora?
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