Aiuto $lim_((x,y)->(0,0))(x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)$
Sono due le cose: o fa infinito o non esiste; io penso faccia infinito ma non riesco a dimostrarlo;
Sono 2 ore che cerco di fare maggiorazioni ma non concludo nulla. Non ci riesco nemmeno con le coordinate polari..
Devo trovare una funzione che sia minore di questa e che tenda ad infinito.. qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Sono 2 ore che cerco di fare maggiorazioni ma non concludo nulla. Non ci riesco nemmeno con le coordinate polari..
Devo trovare una funzione che sia minore di questa e che tenda ad infinito.. qualcuno potrebbe aiutarmi per favore?
Risposte
osservare che
\begin{align}
\frac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le\frac{1}{2}\frac{x^4y^4}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le ...
\end{align}
\begin{align}
\frac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le\frac{1}{2}\frac{x^4y^4}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le ...
\end{align}
Anche se mi sembra che la disuguaglianza è al contrario...
Allora mi stai dicendo che posso ragionare cosi:
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)geqlim_((x,y)->(0,0))(2x^4y^4)/(x^2y^2+x^16+y^16)=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((x^2y^2)/(x^4y^4)+(x^16)/(x^4y^4)+(y^16)/(x^4y^4))=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((1)/(x^2y^2)+(x^4*x^12)/(x^4y^4)+(y^4*y^12)/(x^4y^4))=+oo $
$(x^4-y^4)^2=x^8+y^8-2x^4y^4geq0 rightarrow x^8+y^8geq 2x^4y^4$
e quindi
$lim_((x,y)->(0,0))(x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)geqlim_((x,y)->(0,0))(2x^4y^4)/(x^2y^2+x^16+y^16)=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((x^2y^2)/(x^4y^4)+(x^16)/(x^4y^4)+(y^16)/(x^4y^4))=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((1)/(x^2y^2)+(x^4*x^12)/(x^4y^4)+(y^4*y^12)/(x^4y^4))=+oo$
$ lim_((x,y)->(0,0))(x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)geqlim_((x,y)->(0,0))(2x^4y^4)/(x^2y^2+x^16+y^16)=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((x^2y^2)/(x^4y^4)+(x^16)/(x^4y^4)+(y^16)/(x^4y^4))=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((1)/(x^2y^2)+(x^4*x^12)/(x^4y^4)+(y^4*y^12)/(x^4y^4))=+oo $
$(x^4-y^4)^2=x^8+y^8-2x^4y^4geq0 rightarrow x^8+y^8geq 2x^4y^4$
e quindi
$lim_((x,y)->(0,0))(x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)geqlim_((x,y)->(0,0))(2x^4y^4)/(x^2y^2+x^16+y^16)=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((x^2y^2)/(x^4y^4)+(x^16)/(x^4y^4)+(y^16)/(x^4y^4))=lim_((x,y)->(0,0))(2)/((1)/(x^2y^2)+(x^4*x^12)/(x^4y^4)+(y^4*y^12)/(x^4y^4))=+oo$
Sì, il ragionamento mi sembra giusto, solo non capisco bene come hai fatto quel limite che va a infinito, ti trovi al dennminatore delle forme $ 0/0 $ . Io lo farei in coordinate polari, ho provato a farlo e mi viene, solo che ho perso il foglio e devo uscire, non ho il tempo di rifarlo e postarlo.
si infatti è sbagliato...
"Noisemaker":
osservare che
\begin{align}
\frac{x^8+y^8}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le\frac{1}{2}\frac{x^4y^4}{x^2y^2+x^{16}+x^{16}}\le ...
\end{align}
Noisemaker che intendevi? Pensavo di aver capito ma non mi porta alla soluzione
mi sto impazzendo, ma il limite non esiste!
se mi restringo a $x=0$
$lim_((x,y)->(0,0))(0+y^8)/(0y^2+0+y^16)=+oo$
se invece impongo che $y=x$
$lim_((x,x)->(0,0))(x^8+x^8)/(x^2x^2+x^16+x^16)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4+2x^16)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4+2o(x^4))=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^4)=0$
VERO???
se mi restringo a $x=0$
$lim_((x,y)->(0,0))(0+y^8)/(0y^2+0+y^16)=+oo$
se invece impongo che $y=x$
$lim_((x,x)->(0,0))(x^8+x^8)/(x^2x^2+x^16+x^16)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4+2x^16)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4+2o(x^4))=lim_((x,x)->(0,0))(2x^8)/(x^4)=lim_((x,x)->(0,0))(2x^4)=0$
VERO???
Si Fabio, errata corrige, il limite non esiste, la fretta fa brutti scherzi,scusa. L'ho provato sulle rette per l'origine.
Ponendo $ y=mx $ :
$ (x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)=(x^4+m^8x^4)/(m^2+x^12+m^16) $ $ rarr 1/m^2 $ per
$ xrarr 0 $ .
Quindi il limite dipende dalla direzione $ m $
Ponendo $ y=mx $ :
$ (x^8+y^8)/(x^2y^2+x^16+y^16)=(x^4+m^8x^4)/(m^2+x^12+m^16) $ $ rarr 1/m^2 $ per
$ xrarr 0 $ .
Quindi il limite dipende dalla direzione $ m $
ci manca x^12 vicino m^16
grazie 
Grazie a te!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo