Aiuto Integrazione doppia, Coordinate polari
scusate vorrei una spiegazione circa le formule di cambiamento di variabile, in particolare su come definire $\rho$
il mio libro e il Marcellini Sbordone, e con gli appunti delle lezioni non sono ancora riuscito a capire alla perfezione come definirlo... vi chiedo la cortesia di non aggredire dicendo "studiati la teoria" perchè non sono riuscito a trovare spiegazioni chiare al riguardo... comunque tanto per fare un esempio:
$\int int_D xdxdy$ dove $D={(x,y)inR^2| x>=0, y>=0, x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2y>0}$
[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP31219h80d970eb34h9e0000663g6c8c48a8ab46?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=200&h=202&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
ho mandato una retta passante per l'origine che interseca $x^2+y^2-2y=0$ in P, e $x^2+y^2=4$ in Q(che ha ordinata 1 in quanto si trova sulla retta passante per il centro di $x^2+y^2-2y>0$, da cui
$bar Qbar H=bar Obar Qcostheta$ cioè $theta= pi/6$ di qui sono giunto alla conclusione che devo dividere il dominio in 2 parti:
$0<=theta<=pi/6$
$pi/6<=theta<=pi/2$
il problema è la determinazione di $rho$, vorrei una spiegazione da applicare ad ogni esercizio, perchè ho studiato diversi ex ma poi non sono riuscito ad applicare quel metodo agli altri, e la teoria non mi ha aiutato... grazie per la pzienza
il mio libro e il Marcellini Sbordone, e con gli appunti delle lezioni non sono ancora riuscito a capire alla perfezione come definirlo... vi chiedo la cortesia di non aggredire dicendo "studiati la teoria" perchè non sono riuscito a trovare spiegazioni chiare al riguardo... comunque tanto per fare un esempio:
$\int int_D xdxdy$ dove $D={(x,y)inR^2| x>=0, y>=0, x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2y>0}$
[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP31219h80d970eb34h9e0000663g6c8c48a8ab46?MSPStoreType=image/gif&s=38&w=200&h=202&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
ho mandato una retta passante per l'origine che interseca $x^2+y^2-2y=0$ in P, e $x^2+y^2=4$ in Q(che ha ordinata 1 in quanto si trova sulla retta passante per il centro di $x^2+y^2-2y>0$, da cui
$bar Qbar H=bar Obar Qcostheta$ cioè $theta= pi/6$ di qui sono giunto alla conclusione che devo dividere il dominio in 2 parti:
$0<=theta<=pi/6$
$pi/6<=theta<=pi/2$
il problema è la determinazione di $rho$, vorrei una spiegazione da applicare ad ogni esercizio, perchè ho studiato diversi ex ma poi non sono riuscito ad applicare quel metodo agli altri, e la teoria non mi ha aiutato... grazie per la pzienza
Risposte
Non devi "definire" la coordinata \(\rho\), devi determinare intervalli entro cui essa varia. Questo tipo di lavoro si fa sempre graficamente. Disegna il dominio \(D\) e cerca di capire visivamente dove deve variare \(\rho\) in funzione di \(\theta\).
come faccio a sapere se mi conviene dividere $D$ in $D_1$ e $D_2$?
nel mio caso l'esercizio è stato avviato dal professore quindi sapevo di dover mandare questa retta che poi ho scoperto inclinata di $pi/6$...
nel mio caso l'esercizio è stato avviato dal professore quindi sapevo di dover mandare questa retta che poi ho scoperto inclinata di $pi/6$...
"dissonance":
Disegna il dominio \(D\)
dopo averlo disegnato passando a coordinate polari a me sembra
$T={(rho,theta)inRR^2|0<=theta<=pi/2, 2sintheta<=rho<=2}$
quindi non penso serva a qualcosa dividere il dominio... tu che dici?
$T={(rho,theta)inRR^2|0<=theta<=pi/2, 2sintheta<=rho<=2}$
quindi non penso serva a qualcosa dividere il dominio... tu che dici?
Anche una discussione analitica permette di capire (insieme al disegno) quali sono gli estremi delle nuove variabili. Osserva che le due condizioni $x\ge 0,\ y\ge 0$ implicano che dovrai mantenerti nel I quadrante e quindi $\theta\in[0,\pi/2]$ per cominciare (ma non è detto che sia l'intervallo corretto, ancora).
Passando a coordinate polari, ottieni $\rho^2\le 4$, $\rho^2-2\rho\sin\theta>0$, che implicano, direttamente, $\rho\le 2,\ \rho<2\sin\theta$. Per determinare gli angoli, basta intersecare le due circonferenze: da $x^2+y^2=4,\ x^2+y^2-2y=0$ segue $y=2,\ x=0$ (nel primo quadrante) e pertanto in coordinate polari $\rho\cos\theta=0,\ \rho\sin\theta=2$. Dal momento che $\rho=2$ è la massima limitazione per il raggio, sostituendo nelle due equazioni precedenti si ha $\cos\theta=0,\ \sin\theta=1$ e quindi $\theta=\pi/2$. Pertanto la conclusione è che il dominio è quello che hai scritto (effettivamente, non è necessario spezzarlo in più parti).
Passando a coordinate polari, ottieni $\rho^2\le 4$, $\rho^2-2\rho\sin\theta>0$, che implicano, direttamente, $\rho\le 2,\ \rho<2\sin\theta$. Per determinare gli angoli, basta intersecare le due circonferenze: da $x^2+y^2=4,\ x^2+y^2-2y=0$ segue $y=2,\ x=0$ (nel primo quadrante) e pertanto in coordinate polari $\rho\cos\theta=0,\ \rho\sin\theta=2$. Dal momento che $\rho=2$ è la massima limitazione per il raggio, sostituendo nelle due equazioni precedenti si ha $\cos\theta=0,\ \sin\theta=1$ e quindi $\theta=\pi/2$. Pertanto la conclusione è che il dominio è quello che hai scritto (effettivamente, non è necessario spezzarlo in più parti).
ma nel caso in cui nel dominio non vi siano circonferenze centrate in $0$ o con centro sugli assi, per determinare $rho$ come faccio? seguo il tuo metodo sostituendo nelle equazioni del dominio e scegliere poi la soluzione che rispetta il disegno?
perchè altri esercizi non mi sono usciti seguendo questo metodo... ecco
$\int int_D xdxdy$ dove $D={(x,y)inR^2| x^2+y^2-2x>=0, x^2+y^2 -4x<=0}$
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP62619h843i17cab5e690000299acbchb4d7776d?MSPStoreType=image/gif&s=17&w=200&h=201&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
seguendo il tuo discorso, e anche come mi sembra più logico
$rho>=2costheta$ se considero $x^2+y^2-2x>=0,$
$rho<=4costheta$ se considero $x^2+y^2 -4x<=0$
quindi dovrei avere $2costheta<=rho<=4costhetase$
con $-pi/2<=theta<=pi/2$....???????????
perchè altri esercizi non mi sono usciti seguendo questo metodo... ecco
$\int int_D xdxdy$ dove $D={(x,y)inR^2| x^2+y^2-2x>=0, x^2+y^2 -4x<=0}$
[img]http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP62619h843i17cab5e690000299acbchb4d7776d?MSPStoreType=image/gif&s=17&w=200&h=201&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
seguendo il tuo discorso, e anche come mi sembra più logico
$rho>=2costheta$ se considero $x^2+y^2-2x>=0,$
$rho<=4costheta$ se considero $x^2+y^2 -4x<=0$
quindi dovrei avere $2costheta<=rho<=4costhetase$
con $-pi/2<=theta<=pi/2$....???????????
Certo. 
"EnginXM":
$\int int_D xdxdy$ dove $D={(x,y)inR^2| x>=0, y>=0, x^2+y^2<=4, x^2+y^2-2y>0}$
Il primo integrale si fa anche "comodamente" con un collage di aree (con segno + e -)
[tex]\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi /2}\rho^2\ cos\theta\ d\theta\ d\rho - \int_{0}^{1} \int_{-\pi/2}^{\pi /2}\rho^2\ cos\theta\ d\theta\ d\rho[/tex]
vi ringrazio 
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