Aiuto integrali indefinito
Ciao a tutti
avrei bisogno di chiedervi una mano per quanto riguarda questo integrale indefinito
[tex]\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{3}{2+e^{x}} dx[/tex]
in zero la mia funzione integranda non ha alcun problema quindi devo fare solo il limite dell'integrale quando $x$ tende ad infinito
ho provato quindi a calcolare semplicemente questo integrale.
Per prima cosa ho pensato ad un metodo per sostituzione del tipo $y=e^x$ però così facendo ho $dy=e^x dx$ e quindi non mi torna.
Ho poi pensato di applicare taylor prendendo $e^x = 1+x$ il che non sarebbe male, infatti l'integrale diventerebbe banale, però questo sviluppo sarebbe incentrato nello 0 mentre io sono verso infinito. Ha senso applicarlo lo stesso? secondo me no perchè l'errore di approssimazione diventerebbe enorme.
Ho ragione?
Mi sapreste suggerire un altro metodo?
grazie a tutti
avrei bisogno di chiedervi una mano per quanto riguarda questo integrale indefinito
[tex]\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{3}{2+e^{x}} dx[/tex]
in zero la mia funzione integranda non ha alcun problema quindi devo fare solo il limite dell'integrale quando $x$ tende ad infinito
ho provato quindi a calcolare semplicemente questo integrale.
Per prima cosa ho pensato ad un metodo per sostituzione del tipo $y=e^x$ però così facendo ho $dy=e^x dx$ e quindi non mi torna.
Ho poi pensato di applicare taylor prendendo $e^x = 1+x$ il che non sarebbe male, infatti l'integrale diventerebbe banale, però questo sviluppo sarebbe incentrato nello 0 mentre io sono verso infinito. Ha senso applicarlo lo stesso? secondo me no perchè l'errore di approssimazione diventerebbe enorme.
Ho ragione?
Mi sapreste suggerire un altro metodo?
grazie a tutti
Risposte
Di certo c'è che prendere lo sviluppo di McLaurin quando la tua funzione tende ad infinito è sbagliatissimo, proprio per il motivo che hai detto tu, l'errore aumenterebbe troppo. Sei certo di doverlo calcolare e non dover solo dire se converge o diverge? Perché questo lo renderebbe molto banale.
si purtroppo devo calcolarlo
up
Ciao, ti do un incipit sulla risoluzione dell'integrale
$int_{0}^{oo} frac{3}{2+e^x}dx$
$3 int_{0}^{oo} frac{1}{2+e^x}dx$
integrando per parti
$f = frac{1}{2+e^x}$ $f' = -frac{e^x}{(2+e^x)^2}$
$g' = 1$ $g = x$
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} + 3 int_{0}^{oo} frac{x*e^x}{(2+e^x)^2}dx$
sostituendo quindi
$ t = 2 + e^x rArr x = log(t -2)$
$ dt = e^{x}dt$
gli estremi diventano $3$ e $oo$
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} + 3 int_{3}^{oo} frac{log(t-2)}{t^2}dt$
integrando nuovamente per parti
$f = log(t-2)$ $f' = frac{1}{t-2}$
$g' = frac{1}{t^2}$ $g = -frac{1}{t}$
e quindi
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(t-2)}{t]]_{3}^{oo} +int_{3}^{oo} frac{1}{t-2}*frac{1}{t}dt$
ora devi andare avanti risolvendo l'integrale fratto con denominatore di secondo grado, per poi valutare l'integrale improprio.
$int_{0}^{oo} frac{3}{2+e^x}dx$
$3 int_{0}^{oo} frac{1}{2+e^x}dx$
integrando per parti
$f = frac{1}{2+e^x}$ $f' = -frac{e^x}{(2+e^x)^2}$
$g' = 1$ $g = x$
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} + 3 int_{0}^{oo} frac{x*e^x}{(2+e^x)^2}dx$
sostituendo quindi
$ t = 2 + e^x rArr x = log(t -2)$
$ dt = e^{x}dt$
gli estremi diventano $3$ e $oo$
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} + 3 int_{3}^{oo} frac{log(t-2)}{t^2}dt$
integrando nuovamente per parti
$f = log(t-2)$ $f' = frac{1}{t-2}$
$g' = frac{1}{t^2}$ $g = -frac{1}{t}$
e quindi
$3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(t-2)}{t]]_{3}^{oo} +int_{3}^{oo} frac{1}{t-2}*frac{1}{t}dt$
ora devi andare avanti risolvendo l'integrale fratto con denominatore di secondo grado, per poi valutare l'integrale improprio.
Grazie mille
ho risolti benissimo.
Gentilissimo
ho risolti benissimo.
Gentilissimo
Che poi, applicando direttamente la sostituzione, l'integrale diventa direttamente
$$\int_3^\infty\frac{dt}{t(t-2)}$$
$$\int_3^\infty\frac{dt}{t(t-2)}$$
Non ci avevo pensato 
In effetti prendendo
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(t-2)}{t]]_{3}^{oo} $
e risostituendo $ t = 2 + e^{x}$
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(2 + e^{x} -2)}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{x}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 0$
In effetti prendendo
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(t-2)}{t]]_{3}^{oo} $
e risostituendo $ t = 2 + e^{x}$
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(2 + e^{x} -2)}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{x}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 0$
"sapo93":
Non ci avevo pensato
In effetti prendendo
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(t-2)}{t]]_{3}^{oo} $
e risostituendo $ t = 2 + e^{x}$
$ 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{log(2 + e^{x} -2)}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 3 [frac{x}{2+e^x}]_{0}^{oo} - 3 [frac{x}{2 + e^{x}]]_{0}^{oo} = 0$
Il risultato dato dal libro dovrebbe essere
$3/2 log(3)$ che in effetti mi viene.
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