AIUTO!! integrali complessi delta-approssimanti
AIUTO!!
qualcuno mi sa spiegare brevemente come si integra in campo complesso su un polo per esempio devo fare integrale su tutto R di i*exp(i*k*x)/x e prenderne il limite per k-->infinito facendo vedere che tale limite è multiplo della delta..
e poi devo fare integrale su R di f(x)exp(i*k*x-k*t^2)[/spoiler][/quote][/code]
qualcuno mi sa spiegare brevemente come si integra in campo complesso su un polo per esempio devo fare integrale su tutto R di i*exp(i*k*x)/x e prenderne il limite per k-->infinito facendo vedere che tale limite è multiplo della delta..
e poi devo fare integrale su R di f(x)exp(i*k*x-k*t^2)[/spoiler][/quote][/code]
Risposte
Se ho capito bene hai la funzione $f(x)=i*e^(ix)/x$ e devi mostrare che tale funzione genera una delta di Dirac motiplicata per una costante;
è possibile dimostrare che che data $f:RRtoRR,inL^1(R):int_RRf(x)*dx=1 => lim_(kto+infty)k*f(kx)=delta(x),kinRR.
In questo caso si ha:
$\langlek*f(kx),phi(x)\rangle=int_RRk*(i*e^(i*k*x))/(k*x)*phi(x)*dx=(**)
operiamo la sostituzione $k*x=t => x=t/k =>dx=dt/k
$=>(**)=i*int_RRe^(it)/t*phi(t/k)dt
se $k->+infty$ segue $phi(t/k)->phi(0) => i*delta(x)
è possibile dimostrare che che data $f:RRtoRR,inL^1(R):int_RRf(x)*dx=1 => lim_(kto+infty)k*f(kx)=delta(x),kinRR.
In questo caso si ha:
$\langlek*f(kx),phi(x)\rangle=int_RRk*(i*e^(i*k*x))/(k*x)*phi(x)*dx=(**)
operiamo la sostituzione $k*x=t => x=t/k =>dx=dt/k
$=>(**)=i*int_RRe^(it)/t*phi(t/k)dt
se $k->+infty$ segue $phi(t/k)->phi(0) => i*delta(x)
"Sturmentruppen":
Se ho capito bene hai la funzione $f(x)=i*e^(ix)/x$ e devi mostrare che tale funzione genera una delta di Dirac motiplicata per una costante;
è possibile dimostrare che che data $f:RRtoRR,inL^1(R):int_RRf(x)*dx=1 => lim_(kto+infty)k*f(kx)=delta(x),kinRR.
In questo caso si ha:
$\langlek*f(kx),phi(x)\rangle=int_RRk*(i*e^(i*k*x))/(k*x)*phi(x)*dx=(**)
operiamo la sostituzione $k*x=t => x=t/k =>dx=dt/k
$=>(**)=i*int_RRe^(it)/t*phi(t/k)dt
se $k->+infty$ segue $phi(t/k)->phi(0) => i*delta(x)
Due domande per Sturmentruppen:
1) la $f$ in questione è un'applicazione di $RR$ in $CC$, non di $RR$ in sé, quindi non dovresti correggere la frase "è possibile dimostrare che..."?
2) potresti mostrarmi che $\int_RR i*(e^(i*x))/x" d"x =1$? L'ho detto che sono arruginito in Analisi Complessa ed a certe cose non ci arrivo subito.
Grazie.
Veramente a me l'integrale esce $-\pi$ con il teorema dei residui.
Considerando infatti $f(z) := e^{iz}/z$ e l'integrale $\int_{\gamma} f(z) dz$, con $\gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2} + \gamma_{3} + \gamma_{4}$, parametrizzati nel modo seguente:
$\gamma_{1}: t \mapsto t , t \in [-R,-\epsilon]$
$\gamma_{2}: t \mapsto \epsilon e^{it} , t \in [\pi, 0]$
$\gamma_{3}: t \mapsto t , t \in [\epsilon,R]$
$\gamma_{4}: t \mapsto R e^{it} , t \in [0, \pi]$
Hai che l'integrale su $\gamma_{1} + \gamma_{3}$ converge verso $\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx$, per $\epsilon \to 0$ e $R \to \infty$.
L'integrale su $\gamma_{2}$ è:
$\int_{\gamma_{2}} f(z) dz = \int_{\pi}^{0} (e^{i \epsilon e^{it}})/(\epsilon e^{it}) \epsilon i e^{it} dt = i \int_{\pi}^{0} e^{i \epsilon e^{it}} dt \to -i\pi$
per $\epsilon \to 0$.
Mentre l'integrale su $\gamma_{4}$ lo si può maggiorare con:
$| \int_{\gamma_{4}} f(z) dz| \le e^{-R}/R *\pi*R \to 0$ per $R \to \infty$
Per cui applicando il teorema dei residui hai che:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx - i\pi = 2\pi i*0 = 0$
e quindi:
$i \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx = -\pi$
Poi per quel che c'entra con il delta di Dirac non so...
Considerando infatti $f(z) := e^{iz}/z$ e l'integrale $\int_{\gamma} f(z) dz$, con $\gamma = \gamma_{1} + \gamma_{2} + \gamma_{3} + \gamma_{4}$, parametrizzati nel modo seguente:
$\gamma_{1}: t \mapsto t , t \in [-R,-\epsilon]$
$\gamma_{2}: t \mapsto \epsilon e^{it} , t \in [\pi, 0]$
$\gamma_{3}: t \mapsto t , t \in [\epsilon,R]$
$\gamma_{4}: t \mapsto R e^{it} , t \in [0, \pi]$
Hai che l'integrale su $\gamma_{1} + \gamma_{3}$ converge verso $\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx$, per $\epsilon \to 0$ e $R \to \infty$.
L'integrale su $\gamma_{2}$ è:
$\int_{\gamma_{2}} f(z) dz = \int_{\pi}^{0} (e^{i \epsilon e^{it}})/(\epsilon e^{it}) \epsilon i e^{it} dt = i \int_{\pi}^{0} e^{i \epsilon e^{it}} dt \to -i\pi$
per $\epsilon \to 0$.
Mentre l'integrale su $\gamma_{4}$ lo si può maggiorare con:
$| \int_{\gamma_{4}} f(z) dz| \le e^{-R}/R *\pi*R \to 0$ per $R \to \infty$
Per cui applicando il teorema dei residui hai che:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx - i\pi = 2\pi i*0 = 0$
e quindi:
$i \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix}/x dx = -\pi$
Poi per quel che c'entra con il delta di Dirac non so...
@gugo82: Il risultato che citava Sturmtruppen dovrebbe essere $lim_(\epsilon->0^+)1/(2\pii)\int_(-\infty)^(\infty)(e^(i\omegat))/(t-i\epsilon)dt = \theta(\omega)$, dove $\theta(\omega)$ è la funzione di Heaviside e $\omega!=0$. Una dimostrazione puoi trovarla a pagina 137 di queste dispense oppure a questa pagina.
si deve venire $f(0)pigreco$..non capivo il passaggio del teorema dei residui..grazie a tutti!!
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