Aiuto integrali

[Lale1]

Avrei bisogno di qualche consiglio su come procedere per risolvere questi integrali:


$\int_(1/3)^e (log^2 (3x)dx)/x$

$\int (x dx)/sqrt(25-x^2)$

$\int_(\pi/12)^(\pi/4) (cos (2x)dx)/(sin^2(2x))$

$\int ((2x)dx)/((x^2+1)log(x^2+1))$

Grazie per l'eventuale aiuto!!

[_Tipper]

Sono tutti riconducibili alla forma $\int f'(x) f^n(x) dx$.

[Lale1]

E quando la forma è quella come bisogna procedere? Cioè il fatto che il grado di f, ovvero n, sia diverso da zero, cosa implica?

Ps. il secondo si fa per sostituzione? E cosa mi conviene sostituire?

[_Tipper]

$\int f'(x) f^n(x) dx = \{(\frac{f^{n+1}(x)}{n+1} + c, "se " n \ne -1),(\ln(|f(x)|) + c, "se " n = -1):}$

Per il secondo puoi raccogliere $-\frac{1}{2}$ ottenendo

$-\frac{1}{2} \int (-2x) (25 - x^2)^{-\frac{1}{2}} dx$

e ora è immediato.

[Lale1]

Sì adesso è tutto molto più chiaro...grazie tante..
Mi rimane un unico ultimo dubbio sul terzo, non riesco proprio ad affrontarlo..

[_Tipper]

Se lo scrivi così

$\frac{" "\frac{2x}{x^2 + 1}" "}{\ln(x^2 + 1)}$

puoi notare che il numeratore è la derivata del denominatore.

[Lale1]

Sì questo infatti mi torna, l'ho risolto proprio così.
Io parlavo del terzo, quello con seno e coseno..

[_Tipper]

Scusa, evidentemente non so contare neanche fino a tre... Nota che la derivata di $\sin(2x)$ è $2 \cos(2x)$, pertanto ti basta mettere in evidenza $\frac{1}{2}$ e ottenere

$\frac{1}{2} \int 2 \cos(2x) (\sin(2x))^{-2} dx$

[Lale1]

Figurati..sono cose che capitano! Grazie mille della disponibilità, ora son riuscita a capire finalmente! Grazie ancora.