Aiuto integrale indefinito
E' il seguente:
$int\e^x/((1+e^x)(1+e^-x))dx $
Mi sto incasinando con le $e$. Quale strategia adottare per risolverlo??
$int\e^x/((1+e^x)(1+e^-x))dx $
Mi sto incasinando con le $e$. Quale strategia adottare per risolverlo??
Risposte
\[ e^x = t, \ dt = e^x \ dx \]
Svolgimento:
Pongo $t=e^x$ quindi $dx=(dt)/t$
$int\t^2/(t^2+2t+1)dt = int\1/(t-1)dt - int\1/(t+1)^2dt = log|t+1| - int\1/((t+1)(t+1)) =$
Pongo $z=t+1$ quindi $dt = 1dz$
$= log|t+1| - int\z^-2 dz = log|t+1| - (z^(-2+1)/(-2+1)) = log|t+1| + 1/z +c = log(e^x +1) +1/(e^x+1) +c $
Penso possa andare
Pongo $t=e^x$ quindi $dx=(dt)/t$
$int\t^2/(t^2+2t+1)dt = int\1/(t-1)dt - int\1/(t+1)^2dt = log|t+1| - int\1/((t+1)(t+1)) =$
Pongo $z=t+1$ quindi $dt = 1dz$
$= log|t+1| - int\z^-2 dz = log|t+1| - (z^(-2+1)/(-2+1)) = log|t+1| + 1/z +c = log(e^x +1) +1/(e^x+1) +c $
Penso possa andare
Quasi. Attento agli errori (credo) di battitura alla prima riga. Il procedimento è corretto, e lo è anche il risultato, quindi credo che siano semplicemente di battitura. Corretto sarebbe:
\[ \int \frac{t}{t^2 + 2t + 1} dt = \int \frac {1} {t + 1} dt - \int \frac {1} {(t + 1)(t + 1)} dt \]
Il resto va bene
\[ \int \frac{t}{t^2 + 2t + 1} dt = \int \frac {1} {t + 1} dt - \int \frac {1} {(t + 1)(t + 1)} dt \]
Il resto va bene
Si è un refuso.
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