Aiuto integrale indefinito

[HelpThermoo]

Salve a tutti..mi sto rompendo la testa su questo integrale :

$ int_()^() 1/[sen^2x + senx] dx $

Non ho veramente idea di come affrontarlo ...
So che quando abbiamo un sen^2(x)
in una funzione razionale conviene lavorare con la tangente..
ma non mi vengono così naturali i passaggi xD

Spero possiate aiutarmi..
grazie!

[gugo82]

Dato che insieme al \(\sin^2 x\) c'è un termine di primo grado (i.e. \(\sin x\)), puoi usare comunque le formule parametriche razionali in \(t=\tan (x/2)\).

[HelpThermoo]

ci provo ma non viene fuori granchè...e per sen^2(x)
come faccio? uso sempre quella con tan(x/2)?

[gugo82]

Certo, ma la devi elevare al quadrato...

D'altra parte, però, forse si può fare anche a meno di complicarsi troppo le cose: infatti, dato che:
\[
\begin{split}
\frac{1}{\sin^2 x +\sin x} &= \frac{1}{\sin x\ (\sin x +1)}\\
&= \frac{1+\sin x -\sin x}{\sin x\ (\sin x +1)}\\
&= \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x +1}
\end{split}
\]
il tuo integrale si riduce a:
\[
\int \frac{1}{\sin^2 x +\sin x}\ \text{d} x = \int \frac{1}{\sin x}\ \text{d} x - \int \frac{1}{1+\sin x}\ \text{d} x\; .
\]
Il primo dei due che figurano a secondo membro è "quasi immediato":
\[
\int \frac{1}{\sin x}\ \text{d} x = \ln \left| \tan \frac{x}{2}\right| + C
\]
(è il primo integrale che si calcola con le formule parametriche); mentre sull'altro ci si deve lavorare un po' sopra, ma è comunque semplice.