Aiuto integrale improprio, usando il teorema dei residui
Ciao a tutti,
sono Domenico.
Chiedo gentilmente se potete aiutarmi nella risoluzione di tale integrale:
$int_{-oo}^{+oo}(1/(x^3+i))dx$.
Devo risolvere tale integrale con il teorema dei residui, utilizzando opportune semi-circonferenze.
Io procedo, trovando i poli della funzione, e calcolando i residui con parte $Im(z)>0$. Tale procedimento, credo non sia giusto, in quanto il risultato non è un numero reale.
Vi ringrazio anticipatamente se potreste aiutarmi..
[mod="dissonance"]Corretta la scrittura dell'integrale.[/mod]
sono Domenico.
Chiedo gentilmente se potete aiutarmi nella risoluzione di tale integrale:
$int_{-oo}^{+oo}(1/(x^3+i))dx$.
Devo risolvere tale integrale con il teorema dei residui, utilizzando opportune semi-circonferenze.
Io procedo, trovando i poli della funzione, e calcolando i residui con parte $Im(z)>0$. Tale procedimento, credo non sia giusto, in quanto il risultato non è un numero reale.
Vi ringrazio anticipatamente se potreste aiutarmi..
[mod="dissonance"]Corretta la scrittura dell'integrale.[/mod]
Risposte
Mmm.. Allora.. In pratica col lemma del grande cerchio l'integrale sulla semicirconferenza esterna è nullo. Dunque hai che l'integrale di cui sopra è semplicemente uguale a
$2 pi i Res( f(z), i )$
$2 pi i Res( f(z), i )$
Grazie per la risposta.
Ti dico i mie dubbi. Calcolando il residuo ottengo [tex]$Res (f(z),i)=-2/3$[/tex]. Quindi:
[tex]$\int_{-oo}^{+oo}(1/(x^3+i))dx=-(2/3)i\pi$[/tex]. Le mie lacune sono le seguenti:
1) E' possibile che dal calcolo dell'integrale sulla retta reale, ottengo come risultato un numero $notin$ R??
2) Domanda teorica: Perchè nel calco dell'integrale, si considerano solo i poli la cui parte $Im(z)>0$ ?? Si potrebbe scegliere una semi-circonferenza orientata negativamente (verso orario), e calcoloare anche i residui dei poli con parte $Im(z)<0$ ??
Spero di essermi spiegato..
Grazie a tutti.
Ti dico i mie dubbi. Calcolando il residuo ottengo [tex]$Res (f(z),i)=-2/3$[/tex]. Quindi:
[tex]$\int_{-oo}^{+oo}(1/(x^3+i))dx=-(2/3)i\pi$[/tex]. Le mie lacune sono le seguenti:
1) E' possibile che dal calcolo dell'integrale sulla retta reale, ottengo come risultato un numero $notin$ R??
2) Domanda teorica: Perchè nel calco dell'integrale, si considerano solo i poli la cui parte $Im(z)>0$ ?? Si potrebbe scegliere una semi-circonferenza orientata negativamente (verso orario), e calcoloare anche i residui dei poli con parte $Im(z)<0$ ??
Spero di essermi spiegato..
Grazie a tutti.
Per il teorema di Cauchy-Goursat, in maniera spicciola, se tu hai:
$ f : Omega -> RR $
$ T $ dominio regolare $in Omega $
ti trovi
$ int_{delta T} f(z)dz = 2 pi i sum_{k=0}^n Res( f, x_k ) $
Con $ { x_k } $ insieme dei punti singolari contenuti in $T$.
Ora.. Ovviamente quello era un percorso. Avresti potuto considerare un semicerchio contenuto nei quadranti 3 e 4, ovvero per $Imz < 0$, e considerare l'integrale lungo tale semicerchio. Ovviamente, però, tale integrale non sarebbe più uguale a $2 pi i Res(f, i )$, ma a $2 pi i [ Res(f, x_1) + Res(f, x_2) ] $,
con $x_1$ e $x_2$ le altre due radici del denominatore ( punti singolari per la $f$ ).
Naturalmente visto che su ne hai uno solo di punto singolare.. Conviene integrare su!
Spero di essere stato chiaro.
$ f : Omega -> RR $
$ T $ dominio regolare $in Omega $
ti trovi
$ int_{delta T} f(z)dz = 2 pi i sum_{k=0}^n Res( f, x_k ) $
Con $ { x_k } $ insieme dei punti singolari contenuti in $T$.
Ora.. Ovviamente quello era un percorso. Avresti potuto considerare un semicerchio contenuto nei quadranti 3 e 4, ovvero per $Imz < 0$, e considerare l'integrale lungo tale semicerchio. Ovviamente, però, tale integrale non sarebbe più uguale a $2 pi i Res(f, i )$, ma a $2 pi i [ Res(f, x_1) + Res(f, x_2) ] $,
con $x_1$ e $x_2$ le altre due radici del denominatore ( punti singolari per la $f$ ).
Naturalmente visto che su ne hai uno solo di punto singolare.. Conviene integrare su!
Spero di essere stato chiaro.
Grazie per la risposta.
Ma ora mi sorge un altro dubbio.
Perchè non considerare tutte le singolarità, sia quelle con $Im(z)>0$ che $Im(z)<0$, quindi risolvere due integrali su due semi-circonferenze, di cui una orientata positivamente ( verso antiorario ), e l'altra negativamente ( verso orario ), entrambe che vanno da $[-R, R]$, e sommare il risultato??
Capisci il mio dubbio..
grazie:)
Ma ora mi sorge un altro dubbio.
Perchè non considerare tutte le singolarità, sia quelle con $Im(z)>0$ che $Im(z)<0$, quindi risolvere due integrali su due semi-circonferenze, di cui una orientata positivamente ( verso antiorario ), e l'altra negativamente ( verso orario ), entrambe che vanno da $[-R, R]$, e sommare il risultato??
Capisci il mio dubbio..
grazie:)
Sono due integrali distinti. Non ne hai alcuna necessità. A te interessa un cammino in cui figura la retta reale.
Sommando gli integrali lì.. Ottieni comunque il risultato, ma è.. inutile. Calcoli due volte lo stesso itnegrale e lo dividi per 2? Non fai prima a calcolarne uno solo? :\
O forse non ho capito quello che vuoi dire.
Sommando gli integrali lì.. Ottieni comunque il risultato, ma è.. inutile. Calcoli due volte lo stesso itnegrale e lo dividi per 2? Non fai prima a calcolarne uno solo? :\
O forse non ho capito quello che vuoi dire.
Credo di aver capito..
La mia perplessità sta nel fatto che ottengo un risultato $notin$ R. Cioè calcolando l'integrale nella I e II quadrante ottengo $(2/3)i\pi$.
Capisci il mio dubbio??
Cmq grazie:)
La mia perplessità sta nel fatto che ottengo un risultato $notin$ R. Cioè calcolando l'integrale nella I e II quadrante ottengo $(2/3)i\pi$.
Capisci il mio dubbio??
Cmq grazie:)
In realtà visto che sei arrivato all'analisi complessa non dovresti avere alcun dubbio, ti consiglierei di studiare attentamente il concetto di Dominio e di Immagine di una funzione.
Detto questo rispondo molto rapidamente, il risultato non appartiene ai reali perchè tu non stai calcolando un integrale di una funzione Reale.
La funzione è complessa e quindi ottieni un risultato del tipo "a+ib" con parte reale nulla (in questo caso).
Chiaro adesso ?
Detto questo rispondo molto rapidamente, il risultato non appartiene ai reali perchè tu non stai calcolando un integrale di una funzione Reale.
La funzione è complessa e quindi ottieni un risultato del tipo "a+ib" con parte reale nulla (in questo caso).
Chiaro adesso ?
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