Aiuto integrale improprio e convergenza
Salve,
devo risolvere il seguente integrale improprio per $ alpha = -1 $
$ int_(5)^(+infty) 1/((sqrt(e^x-e^5))(x-5)^(alpha+1)) dx $
In più l'esercizio mi chiede un secondo quesito, ossia di stabilire per quali $ alpha in RR $ esso é convergente.
Per quanto riguarda la prima parte ho impostato:
$ lim_(h -> +infty) int_(5)^(h) 1/sqrt (e^x-e^5 )dx $
dopodiché ho effettuato la sostituzione:
$ sqrt(e^x-e^5)=t $
da cui é emerso che l'integrale indefinito da risolvere é:
$ int(2t)/(t(t^2+e^5))dx $ = $ 2int1/(t^2+e^5)dx $
Utilizzando l'integrazione immediata:
$ int1/(x^2+m^2)dx = (1/m)arctan (x/m) + C $
e andando a calcolare il $ lim_(h -> +infty) $ del risultato dell'integrale (dopo averci sostituito gli estremi all'interno), ottengo: $ pi / e^(5/2) $
Il procedimento e il risultato sono corretti?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio (ossia lo studio della convergenza) invece avrei bisogno di un aiuto perché non so proprio come procedere.
Grazie mille a chi risponderà!
devo risolvere il seguente integrale improprio per $ alpha = -1 $
$ int_(5)^(+infty) 1/((sqrt(e^x-e^5))(x-5)^(alpha+1)) dx $
In più l'esercizio mi chiede un secondo quesito, ossia di stabilire per quali $ alpha in RR $ esso é convergente.
Per quanto riguarda la prima parte ho impostato:
$ lim_(h -> +infty) int_(5)^(h) 1/sqrt (e^x-e^5 )dx $
dopodiché ho effettuato la sostituzione:
$ sqrt(e^x-e^5)=t $
da cui é emerso che l'integrale indefinito da risolvere é:
$ int(2t)/(t(t^2+e^5))dx $ = $ 2int1/(t^2+e^5)dx $
Utilizzando l'integrazione immediata:
$ int1/(x^2+m^2)dx = (1/m)arctan (x/m) + C $
e andando a calcolare il $ lim_(h -> +infty) $ del risultato dell'integrale (dopo averci sostituito gli estremi all'interno), ottengo: $ pi / e^(5/2) $
Il procedimento e il risultato sono corretti?
Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio (ossia lo studio della convergenza) invece avrei bisogno di un aiuto perché non so proprio come procedere.
Grazie mille a chi risponderà!
Risposte
Per la seconda parte osserva che non ci sono problemi di convergenza per \(x\to +\infty\), grazie all'esponziale a denominatore.
Per \(x\to 5\) hai invece che
\[
e^x - e^5 = e^5 (e^{x-5} - 1) \sim e^5 (x-5), \qquad x\to 5.
\]
Per \(x\to 5\) hai invece che
\[
e^x - e^5 = e^5 (e^{x-5} - 1) \sim e^5 (x-5), \qquad x\to 5.
\]
"Rigel":
Per la seconda parte osserva che non ci sono problemi di convergenza per \(x\to +\infty\), grazie all'esponziale a denominatore.
Per \(x\to 5\) hai invece che
\[
e^x - e^5 = e^5 (e^{x-5} - 1) \sim e^5 (x-5), \qquad x\to 5.
\]
Ti ringrazio della risposta. Ma non ho ben capito purtroppo... l'esercizio mi chiede di stabilire la convergenza al variare di alpha, non x.
Inoltre per quanto riguarda il procedimento e il risultato dell'integrale,sono fatti bene?
Spero qualcuno possa aiutarmi
La prima parte sembra corretta.
Per la seconda parte, usa l'equivalenza che ti ho già scritto nell'argomento della radice, in modo da determinare l'andamento asintotico della funzione integranda per \(x\to 5^+\).
Per la seconda parte, usa l'equivalenza che ti ho già scritto nell'argomento della radice, in modo da determinare l'andamento asintotico della funzione integranda per \(x\to 5^+\).
"Rigel":
La prima parte sembra corretta.
Per la seconda parte, usa l'equivalenza che ti ho già scritto nell'argomento della radice, in modo da determinare l'andamento asintotico della funzione integranda per \(x\to 5^+\).
Ti ringrazio, utilizzando le equivalenze asintotiche riesco a capire come procedere.
Avrei una domanda però : in base a cosa stabilisco se un estremo di integrazione è o meno un punto problematico? Io avevo pensato che bisognasse riferirsi al dominio della funzione, ma a quanto pare non è così!
Questo è un tassello fondamentale. Spero nel tuo aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo