Aiuto integrale fratto...
Ho un problema con questo integrale. Sul mio libro non tratta il caso denominatore di grado maggiore di 2.
Sapete darmi qualche indicazione su come procedere per favore?
$\int(5x^2+13x+2)/(x^3+5x^2+11x+15)dx$
Sono solo riuscito a scomporre il denominatore in $(x+3)(x^2+2x+5)$ e poi mi sono bloccato.
Grazie
Sapete darmi qualche indicazione su come procedere per favore?
$\int(5x^2+13x+2)/(x^3+5x^2+11x+15)dx$
Sono solo riuscito a scomporre il denominatore in $(x+3)(x^2+2x+5)$ e poi mi sono bloccato.
Grazie
Risposte
Scomponi in somme di frazioni. Conosci il metodo?
Una possibile strada, anche se un pò "articolata", per scomporre in somme di frazioni è il metodo dei residui!
Qui ti riporto un link...
https://www.matematicamente.it/il_magazi ... 070402123/
...che per giunta è un mio articolo!
Qui ti riporto un link...
https://www.matematicamente.it/il_magazi ... 070402123/
...che per giunta è un mio articolo!
Devi usare il principio d'identità dei polinomi, e spezzare la frazione in:
$A/(x+3)+(Bx+C)/(x^2+2x+5)$ (1)
riduci al minimo comun denominatore, semplifica il numeratore ed avrai:
$x^2(A+B)+x(2A+3B+C)+5A+3C
ora uguaglia i coefficienti dei termini di ugual grado e risolvi il sistema:
$\{(A+B=5),(2A+3B+C=13),(5A+3C=2):}$
ottieni i valori di A, B e C che dovrai andare a sostituire al numeratore della (1) ; in questo modo hai trasformato il prodotto in una somma e dovresti riuscire a risolvere più facilmente l'esercizio
$A/(x+3)+(Bx+C)/(x^2+2x+5)$ (1)
riduci al minimo comun denominatore, semplifica il numeratore ed avrai:
$x^2(A+B)+x(2A+3B+C)+5A+3C
ora uguaglia i coefficienti dei termini di ugual grado e risolvi il sistema:
$\{(A+B=5),(2A+3B+C=13),(5A+3C=2):}$
ottieni i valori di A, B e C che dovrai andare a sostituire al numeratore della (1) ; in questo modo hai trasformato il prodotto in una somma e dovresti riuscire a risolvere più facilmente l'esercizio
Si, il metodo dei residui è un metodo molto elegante.
Grazie ragazzi... ora provo a fare come consigliato...
Grazie anche per il metodo dei residui, ma penso che lo guarderò più per cultura personale. Infatti non ce l'ho in programma e non so come la prenderebbe il prof. Anche solo chiedendomi di giustificare il tutto avrei grossi problemi... comunque vi farò sapere...
Per ora potete solo spiegarmi come mai al numeratore prima ho A e poi Bx+C? Il metodo per spezzare la frazione che conoscevo io metteva solo A, B, C... ai vari numeratori"
Grazie anche per il metodo dei residui, ma penso che lo guarderò più per cultura personale. Infatti non ce l'ho in programma e non so come la prenderebbe il prof. Anche solo chiedendomi di giustificare il tutto avrei grossi problemi... comunque vi farò sapere...
Per ora potete solo spiegarmi come mai al numeratore prima ho A e poi Bx+C? Il metodo per spezzare la frazione che conoscevo io metteva solo A, B, C... ai vari numeratori"
Perchè il grado del denominatore è il secondo. Prova a vedere cosa accadrebbe nel caso in cui considerassi una sola costante a numeratore.
ok... mi manca l'ultimo passaggio...
ho risolto il sistema trovando:
$A=1$ $B=4$ $C=-1$
dunque:
$int1/(x+3) + int(4x-1)/(x^2+2x+5)$
provo ad andare avanti... poi vi dico...
ho risolto il sistema trovando:
$A=1$ $B=4$ $C=-1$
dunque:
$int1/(x+3) + int(4x-1)/(x^2+2x+5)$
provo ad andare avanti... poi vi dico...
ok ragazzi, grazie mille... è venuta.. il risultato era:
$ln((x+3)(x^2+2x+5)^2)-(5arctan((x+1)/2)/2)+c$
grazie ancora...
$ln((x+3)(x^2+2x+5)^2)-(5arctan((x+1)/2)/2)+c$
grazie ancora...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo