Aiuto integrale doppio. Grazie.

[Candiano]

Salve a tutti sono due giorni che sbatto la testa su un integrale non complicato ma non capisco cosa manca o cosa sbaglio. L'integrale è il seguente:

$ int_(Omega ) xsqrt(x^2+y^2) dx dy $ con $ Omega = { (x,y) in R^2: x^2+y^2<1, x^2+y^2<2y, x<0 } $

Quindi per capire gli estremi di integrazione ho proceduto con il disegnare il grafico cioè due circonferenze relativi appunto all'insieme omega.
Dopodiche mi sono suddiviso l'insieme omega in questo modo:

$ Omega1 = { (x,y) in R^2: 0
$Omega2 = { (x,y) in R^2: 1/2
Procedo con il calcolo e il risultato mi viene sempre -17/60 e non -3/20 come sul libro.

P.S. per la risoluzione non ricorrete al cambiamento di coordinate polari perchè ancora mi è stato spiegato a lezione

Se qualcuno ha voglia di provare e mi dice cosa sbaglio, perchè riguardo ai calcoli sono sicuro al 99% di averli fatti giusti, magari sbaglio qualcosa sugli insiemi.


Grazie
Giancarlo.

[Brancaleone1]

Devi aver fatto qualche errore nel calcolo perché il procedimento è giusto

$int int _Omega xsqrt(x^2+y^2)dxdy =$

$int_0^(1/2) [int_(-sqrt(1-(y-1)^2))^0 (xsqrt(x^2+y^2))dx]dy + int_(1/2)^1 [int_(-sqrt(1-y^2))^0 (xsqrt(x^2+y^2))dx]dy =$

$=1/3 (int_0^(1/2) [sqrt((x^2+y^2)^3)]_(-sqrt(1-(y-1)^2))^0 dy + int_(1/2)^1 [sqrt((x^2+y^2)^3)]_(-sqrt(1-y^2))^0 dy) =$

$=1/3 [int_0^(1/2) (sqrt(y^6) - sqrt((1-(y-1)^2+y^2)^3)) dy + int_(1/2)^1 (sqrt(y^6) - sqrt((1-y^2+y^2)^3))] =$

$=1/3 [int_0^(1/2) (y^3-sqrt(8y^3))dy + int_(1/2)^1 (y^3-1)dy]=$

$=1/3 ([1/4y^4-(2sqrt(8y^5))/5]_0^(1/2) + [1/4y^4-y]_(1/2)^1)=$

$=1/3[(1/64-(2sqrt(8/32))/5)+(1/4-1-1/64+1/2)]=$

$=-3/20$

NB: nel passaggio dalla quarta alla quinta riga ho omesso il valore assoluto di $y^3$ perché siamo nella condizione $y>=0$

[Candiano]

Ti ringrazio un mondo, mi hai pure scritto tutti i passaggi Alla fine continuavo a sbagliare come un maledetto sul primo integrale in quanto non moltiplicavo (2y)^3/2 per 1/3. Mi ero focalizzato sull'errore precedente e mi dimenticavo sempre che c'era quel prodotto di mezzo. Grazie mille