Aiuto integrale doppio

[Redivivo]

ciao,
mi date una mano con questo integrale?
$ int int_(D)^() (dxdy)/(4+x^2+y^2) $
nel dominio
$ D -= {x^2+y^2>=2y, x^2+y^2<=4y} $
ho trovato che il dominio è l'area compresa tra la circonferenza più grande e quella più piccola interna.
quindi volevo calcolare l'integrale nella circonferenza grande e sottrarci l'integrale calcolato nelle circonferenza piccola.
pensavo che passando alle cordinate polari quindi mi si semplificasse quel $ x^2+y^2 $ nell'integrale ma non avevo tenuto conto che le circonferenze non sono centrate nell'origine, diventando più complicata.
Che procedimento devo usare?

[Lorin1]

L'idea credo che sia giusta, l'unica cosa di cui devi tener conto è che quando passi a coordinate polari il cambio non è più quello classico ma:

${(x=x_o + \rhocos\theta),(y=y_o + \rhosin\theta):}$

dove $(x_o,y_o)$ sono le coordinate del centro della circonferenza.

[Redivivo]

quindi per la circonferenze di centro (0,2) e raggio 2 uso
$ { ( x=rhocostheta),( y=2+rhosintheta ):} $
${0 e l'integrale diventa
$ int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) rho/(rho^2+4rhosin(theta)+8)d(rho)d(theta) $
qui mi sono bloccato. non so come fare a risolverlo

[Gendarmevariante1]

Io lo svolgerei in un altro modo... Potreste dirmi se è giusto? Ne approfitto visto che anche io sto preparando un esame con integrali doppi, magari confrontare le soluzioni può essere utile

Io farei così:
per passare in coordinate polari userei semplicemente il cambio $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ):} $
e parametrizzerei le due circonferenze in questo modo:
$ x^2+y^2 = 2y -> rho = 2sentheta $
$ x^2+y^2 = 4y -> rho = 4sentheta $
con questa parametrizzazione, bisogna richiedere che $ theta in [0,pi] $ e $rho >0$

a questo punto l'integrale diventa
$ int_(0)^(pi)d theta int_(2sentheta)^(4sentheta) 1/{4+rho^2}rho d rho = 1/2int_(0)^(pi)d theta int_(2sentheta)^(4sentheta) {2rho}/{4+rho^2}d rho$ visto che $4+rho^2$ è sempre positivo posso scrivere
$ = 1/2int_(0)^(pi)[log(4+rho^2)]_{2sentheta}^{4sentheta}d theta = 1/2int_(0)^(pi)log({1+4sen^2theta}/{1+sen^2theta})d theta $ e poi calcolo l'integrale...

ho fatto errori madornali? @__@

Un problema potrebbe essere calcolare l'ultimo integrale, che è un po' strano... magari facendo prima l'integrale rispetto a theta e poi quello rispetto a rho si risolve più facilmente?