Aiuto Integrale Doppio
Salve a tutti,
sono alle prese con gli integrali doppi e in particolare con quelli con funzioni (particolarmente) "cattive"...
Tra poco meno di un mese avrò l'esame e nei precedenti temi sono stati dati 2 tipi di integrali doppi:
1) Con Arctan
2) "Funzione Semplice"
In particolare ho questo dominio:
"Sia D l’intersezione tra la corona circolare con centro l’origine e raggi 1 e 2 e l’angolo convesso che ha per lati le semirette bisettrici del I e II quadrante."
Quindi avendo una corona circolare e due rette ho pensato di passare alle coordinate polari ottenendo quindi il seguente dominio: (Verificato anche con Wolfram Alpha)
D={(p,a) c R^2 : 1
(p = raggio, a = angolo)
ora ho queste due funzioni da integrare:
1)f(x,y) = xy arctan(x^2+y);
2)f(x,y) = y/(x^2 + y^2);
Per quanto riguarda il (2) l'ho riscritta in coordinate polari e l'ho risolta ottendo: sqrt(2) e verificando con Wolfram Alpha anche con le coordinate cartesiane e, ottenendo lo stesso risultato, ho pensato fosse giusto...
Ora il vero problema è l' (1) perché riscrivendolo in coordinate polari, oppure in coordinate cartesiane, viene fuori un integrale incredibile che neanche wolfram alpha lo risolve (scrive solo 0,xxxx)
Anche tenendo le coordinate cartesiane l'integrale non cenna a migliorare...
Quindi mi chiedo e vi chiedo, c'è un modo semplice per risolvere questo tipo di integrali? Oppure sono io che sto sbagliando completamente?
Grazie in Anticipo,
Cordialità, Andrea.
sono alle prese con gli integrali doppi e in particolare con quelli con funzioni (particolarmente) "cattive"...
Tra poco meno di un mese avrò l'esame e nei precedenti temi sono stati dati 2 tipi di integrali doppi:
1) Con Arctan
2) "Funzione Semplice"
In particolare ho questo dominio:
"Sia D l’intersezione tra la corona circolare con centro l’origine e raggi 1 e 2 e l’angolo convesso che ha per lati le semirette bisettrici del I e II quadrante."
Quindi avendo una corona circolare e due rette ho pensato di passare alle coordinate polari ottenendo quindi il seguente dominio: (Verificato anche con Wolfram Alpha)
D={(p,a) c R^2 : 1
(p = raggio, a = angolo)
ora ho queste due funzioni da integrare:
1)f(x,y) = xy arctan(x^2+y);
2)f(x,y) = y/(x^2 + y^2);
Per quanto riguarda il (2) l'ho riscritta in coordinate polari e l'ho risolta ottendo: sqrt(2) e verificando con Wolfram Alpha anche con le coordinate cartesiane e, ottenendo lo stesso risultato, ho pensato fosse giusto...
Ora il vero problema è l' (1) perché riscrivendolo in coordinate polari, oppure in coordinate cartesiane, viene fuori un integrale incredibile che neanche wolfram alpha lo risolve (scrive solo 0,xxxx)
Anche tenendo le coordinate cartesiane l'integrale non cenna a migliorare...
Quindi mi chiedo e vi chiedo, c'è un modo semplice per risolvere questo tipo di integrali? Oppure sono io che sto sbagliando completamente?
Grazie in Anticipo,
Cordialità, Andrea.
Risposte
Benvenuto. Ti consiglio di guardare il topic su come scrivere le formule matematiche per scrivere su questo forum.
per quanto riguarda la tua domanda, con i cambiamenti di coordinate adottati gli integrali diventano
1) $\int_1^2 \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ d\theta\ d\rho$
2) $\int_1^2\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \rho^3 \sin\theta\ \cos\theta\cdot \arctan(\rho^2\cos^2 \theta+\rho\sin\theta)\ d\theta\ d\rho$.
Per il primo, un rapido calcolo mostra che si ha $(2-1)\cdot(\sqrt{2}/{2}+\sqrt{2}/{2})=\sqrt{2}$.
Per il secondo, invece, ritengo che l'argomento dell'arcotangente sia un tantinello complicato. Certo, potresti provare ad integrare per parti in questo modo: procediamo ad integrare rispetto a $\rho$ prima di tutto, allora si ha
$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ \cos\theta[\int_1^2 \rho^3\cdot \arctan(\rho^2\cos^2 \theta+\rho\sin\theta)\ d\rho]\ d\theta=$
$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ \cos\theta[{\rho^4}/4\cdot\arctan(\rho^2\cos^2\theta+\rho\sin\theta)-1/4\int_1^2 \rho^4\cdot {2\rho\cos^2\theta+\sin\theta}/{1+(\rho^2\cos^2\theta+\rho\sin\theta)^2}\ d\rho]\ d\theta$
e da qui continuare ad integrare rispetto a $\rho$ osservando che, a prescindere dalla presenza delle funzioni trigonometriche, l'integrale risulta quello di una funzione razionale rispetto alla variabile $\rho$.
per quanto riguarda la tua domanda, con i cambiamenti di coordinate adottati gli integrali diventano
1) $\int_1^2 \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ d\theta\ d\rho$
2) $\int_1^2\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \rho^3 \sin\theta\ \cos\theta\cdot \arctan(\rho^2\cos^2 \theta+\rho\sin\theta)\ d\theta\ d\rho$.
Per il primo, un rapido calcolo mostra che si ha $(2-1)\cdot(\sqrt{2}/{2}+\sqrt{2}/{2})=\sqrt{2}$.
Per il secondo, invece, ritengo che l'argomento dell'arcotangente sia un tantinello complicato. Certo, potresti provare ad integrare per parti in questo modo: procediamo ad integrare rispetto a $\rho$ prima di tutto, allora si ha
$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ \cos\theta[\int_1^2 \rho^3\cdot \arctan(\rho^2\cos^2 \theta+\rho\sin\theta)\ d\rho]\ d\theta=$
$\int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin\theta\ \cos\theta[{\rho^4}/4\cdot\arctan(\rho^2\cos^2\theta+\rho\sin\theta)-1/4\int_1^2 \rho^4\cdot {2\rho\cos^2\theta+\sin\theta}/{1+(\rho^2\cos^2\theta+\rho\sin\theta)^2}\ d\rho]\ d\theta$
e da qui continuare ad integrare rispetto a $\rho$ osservando che, a prescindere dalla presenza delle funzioni trigonometriche, l'integrale risulta quello di una funzione razionale rispetto alla variabile $\rho$.
Grazie per la pronta risposta e infatti hai confermato quello che ho scritto io sul foglio (anche la parte per parti) e proprio arrivato al punto in cui ti sei bloccato tu mi sono bloccato anche io, non è che potresti fare un'opera pia e andare avanti, perché sinceramente non mi viene in mente niente per risolverlo... e sinceramente pensavo di aver sbagliato ma tu hai confermato quindi...
Non mi sono bloccato... lasciavo a te il compito di continuare. Comunque vediamo come si potrebbe procedere: la funzione da integrare è
$\int{\rho^4(2\rho\cos^2\theta+\sin\theta)}/{\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1}\ d\rho$
Per prima cosa, dividiamo il numeratore (polinomio di grado 5) per il denominatore (polinomio di grado 4) ottenendo
$2\rho^5\cos^2\theta+\rho^4\sin\theta=(\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1)({2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta})+$
$+4\rho^3{\sin^3\theta}/{\cos^2\theta}+3\rho^2{\sin^3\theta}/{\cos^4\theta}-2\rho 1/{\cos^2\theta}+{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}$
e pertanto la funzione integranda si riduce alla seguente
${2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}+{4\rho^3{\sin^3\theta}/{\cos^2\theta}+3\rho^2{\sin^3\theta}/{\cos^4\theta}-2\rho 1/{\cos^2\theta}+{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}}/{\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1}=$
$={2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}+{4\rho^3\sin^3\theta\cos^2\theta+3\rho^2\sin^3\theta-2\rho\cos^2\theta+3\sin\theta}/{\cos^4\theta(\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1)}$
A questo punto per integrare basta usare i soliti procedimenti per le funzioni razionai e hai finito (anche se vengono un bel po' di contacci fuori!)
$\int{\rho^4(2\rho\cos^2\theta+\sin\theta)}/{\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1}\ d\rho$
Per prima cosa, dividiamo il numeratore (polinomio di grado 5) per il denominatore (polinomio di grado 4) ottenendo
$2\rho^5\cos^2\theta+\rho^4\sin\theta=(\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1)({2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta})+$
$+4\rho^3{\sin^3\theta}/{\cos^2\theta}+3\rho^2{\sin^3\theta}/{\cos^4\theta}-2\rho 1/{\cos^2\theta}+{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}$
e pertanto la funzione integranda si riduce alla seguente
${2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}+{4\rho^3{\sin^3\theta}/{\cos^2\theta}+3\rho^2{\sin^3\theta}/{\cos^4\theta}-2\rho 1/{\cos^2\theta}+{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}}/{\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1}=$
$={2\rho}/{\cos^2\theta}-{3\sin\theta}/{\cos^4\theta}+{4\rho^3\sin^3\theta\cos^2\theta+3\rho^2\sin^3\theta-2\rho\cos^2\theta+3\sin\theta}/{\cos^4\theta(\rho^4\cos^4\theta+2\rho^3 \sin\theta\cos^2\theta+\rho^2 \sin^2\theta+1)}$
A questo punto per integrare basta usare i soliti procedimenti per le funzioni razionai e hai finito (anche se vengono un bel po' di contacci fuori!)
Ottimo non ci sarei mai e poi mai arrivato... grazie per la disponibilità 
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